材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 30 mm鋼3 mP = 75 kN

軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 75 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø4070 GPaØ100/70300 mm

鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 70 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
T = 200 N·md = 30 mmL = 1.5 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 200 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 1450 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 75 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 8 kN/mAB断面3.5 m4.5 m

支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mw = 8 kN/m（0 から 8 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
60 kN45 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 0 m45 kN @ 6 m25 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
120102408x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm200 mm80 mm80 × 40xIx​ = ?

120 mm × 200 mm の板に、幅 80 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 200 mm切り欠き: 80 × 40 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 120σy​ = 90τxy​ = −30MPa

ある点で σₓ = 120 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = 120 MPaσy = 90 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −10σy​ = 70τxy​ = −50MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −10 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −50 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。

σx = −10 MPaσy = 70 MPaτxy = −50 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 4 kN/mδL = 2.5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 4 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 30 kNABδ3 m1 m

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。

P = 30 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 2.5 md = 25 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 115 kNL = 5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 115 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 1.592 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 75·1000/706.9 = 106.1 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 106.1/200000 = 0.0005305 = 530.5 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0005305·3000 mm = 1.592 mm

答え

δ = 1.592 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 664.6 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5.317 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.00125, 0.001429) = 0.00125 (鋼)

最大荷重

Pmax = 0.00125·5.317 × 10⁸ = 664643 N = 664.6 kN

答え

Pmax = 664.6 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 8.314 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·79522) = 0.1451 rad
φ = 0.1451·180/π = 8.314°

答え

φ = 8.314°
4.軸のねじり

答え: d = 36.92 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·493929/(π·50)) = 36.92 mm

答え

d = 36.92 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 63 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 32RB​ = 32断面3.5 m4.5 m

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 32·3.5 − 8·3.5·1.75 = 63 kN·m

答え

Mx = 63 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 1 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 82.5 kN, R2 = 47.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = −37.5, MD = −40, ME = −42.5, MF = −45, MG = 0

答え

点 B: MB = −60 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 20.76 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm
ウェブ: Aw = 8·240 = 1920 mm², yw = 240/2 = 120 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·245 + 1920·120)/3120 = 168.1 mm

平行軸の定理

フランジ: 120·10³/12 + 1200·(245 − 168.1)² = 7.111 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·240³/12 + 1920·(120 − 168.1)² = 1.365 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.111 × 10⁶ + 1.365 × 10⁷ = 2.076 × 10⁷ mm⁴ = 20.76 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 20.76 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 78.1 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·100 − 3200·80)/(24000 − 3200) = 103.1 mm

ȳ まわりの全体の板

120·200³/12 + 24000·−3.077² = 80.23 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

80·40³/12 + 3200·−23.08² = 2.131 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 78.1 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 78.1 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θs = −76.72 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

σxyCτmax​

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θs = −30/33.54 = −0.8944, sin 2θs = −15/33.54 = −0.4472
2θs = atan2(−15, −30) = −153.4°

要素上の角度

θs = −76.72°
確認: θs − θp = −76.72 − (−31.72) = −45°

答え

θs = −76.72°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σvM = 114.9 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 30 MPa, R = 64.03 MPa
σ1 = 94.03 MPa, σ2 = −34.03 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(94.03² − 94.03·(−34.03) + (−34.03)²) = 114.9 MPa

答え

σvM = 114.9 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 8.042 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 8.042 mm

答え

δmax = 8.042 mm
12.はりのたわみ

答え: δmax = 1.165 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 30000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

最大たわみ

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1.165 mm

答え

δmax = 1.165 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 8.478 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1250² = 8478 N = 8.478 kN

答え

Pcr = 8.478 kN
14.柱の座屈

答え: d = 85.32 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·115000 = 287500 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 85.32 mm

答え

d = 85.32 mm

確認：細長比 KL/r は 117.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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