軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 300 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 80 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 50 mm、長さ 3 m、区間 BC は直径 20 mm、長さ 0.8 m である。自由端 C にトルク 100 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 100 N·md1 = 50 mm, L1 = 3 md2 = 20 mm, L2 = 0.8 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 1 m の B にトルク 2000 N·m が作用し、さらに 1.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 100 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 60 mmTB = 2000 N·mTC = 100 N·mAB = 1 mBC = 1.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
60 kN @ 2 m20 kN @ 3 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 4 mw = 16 kN/m（0 から 2 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
対称な I 形断面のフランジは幅 140 mm、厚さ 16 mm、全高は 360 mm、ウェブの厚さは 8 mm である。 水平な図心軸 x まわりの曲げに対する弾性断面係数 Sx を求めよ。
B = 140 mmH = 360 mmtf = 16 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm × 300 mm の板に、幅 80 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 210 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 300 mm切り欠き: 80 × 50 mm穴の中心: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −30 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −30 MPaσy = −80 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 140 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 140 MPaσy = 50 MPaτxy = −20 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 16 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.2052 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·9346 = 1.169 × 10⁹ N
縮み
δ = 300000·800/1.169 × 10⁹ = 0.2052 mm
答え
δ = 0.2052 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.399 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 163 MPa
σ2 = 254.6 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 163·1500/200000 = 1.222 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 254.6·1000/117000 = 2.176 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.399 mm
答え
δ = 3.399 mm
3.軸のねじり
答え: τmax = 63.66 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 100 N·m = 100000 N·mm
τAB = 16·100000/(π·50³) = 4.074 MPa
τBC = 16·100000/(π·20³) = 63.66 MPa
答え
τmax = 63.66 MPa
4.軸のねじり
答え: φC = 3.031 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 2000 = −1900 N·m
各区間のねじれ角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = −1.9 × 10⁶·1000/(26000·1.272 × 10⁶) = −0.05743 rad
φBC = 100000·1500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.004534 rad
端 C のねじれ角
φC = −0.05743 + 0.004534 = −0.0529 rad → |φC| = 3.031°
答え
φC = 3.031°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: C (x = 2 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 50 kN, R2 = 30 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 50, MC = 100 kN·m, MD = 90, ME = 60, MF = 30, MG = 0
答え
点 C: MC = 100 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 18 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN、作用点 x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 16·2·1
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 8 = 24 kN
せん断力 0 の位置
せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 24/16 = 1.5 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 24·1.5 − 16·1.5²/2 = 18 kN·m
答え
Mmax = 18 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Sx = 867.5 × 10³ mm³
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 360 − 2·16 = 328 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·360³ − 132·328³)/12
Ix = 1.562 × 10⁸ mm⁴
断面係数
c = H/2 = 180 mm
Sx = I/c = 1.562 × 10⁸/180
Sx = 867538 mm³ = 867.5 × 10³ mm³
答え
Sx = 867.5 × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 320.9 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (45000·150 − 4000·210)/(45000 − 4000) = 144.1 mm
ȳ まわりの全体の板
150·300³/12 + 45000·5.854² = 339 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
80·50³/12 + 4000·65.85² = 18.18 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 320.9 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 320.9 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −25.1 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−30, −30 − −80) = −50.19°
要素上の角度
θp = −25.1°
答え
θp = −25.1°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 127.7 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 95 MPa, R = 49.24 MPa
σ1 = 144.2 MPa, σ2 = 45.76 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(144.2² − 144.2·45.76 + 45.76²) = 127.7 MPa
答え
σvM = 127.7 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 44.44 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 44.44 mm
答え
δmax = 44.44 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 1.18 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 16000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 16000·3000³/(48·1.12 × 10¹³) = 0.8036 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 0.3767 mm
足し合わせる
δmax = 0.8036 + 0.3767 = 1.18 mm
答え
δmax = 1.18 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 10.01 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10.01 kN
答え
Pcr = 10.01 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 49.35 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/5 = 200
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
答え
σcr = 49.35 MPa
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