材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
150 kNØ25100 GPaØ120/70400 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 150 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 35 mmアルミニウム1.5 mØ 20 mmアルミニウム1 mP = 95 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 95 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 1000 N·md = 50 mmL = 2.5 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 30 mmTB​ = 1000 N·mTC​ = 250 N·mABC1.2 m2 m

直径 30 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 1.2 m の B にトルク 1000 N·m が作用し、さらに 2 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 30 mmTB = 1000 N·mTC = 250 N·mAB = 1.2 mBC = 2 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 30 kN·mAB4 m1 m

単純ばりに、A から x = 4 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 30 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mM0 = 30 kN·m 時計回り、位置 4 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mABC6 m2.5 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 xc を求めよ。

L = 8.5 mw = 5 kN/m（0 から 8.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
xc = m
7.図心と断面二次モーメントふつう
B = 160H = 325t = 20x寸法の単位：mm

中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 160 mm、外高は H = 325 mm、壁厚は一様に t = 20 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

B = 160 mmH = 325 mmt = 20 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm240 mm72 mm30 × 30xIx​ = ?

150 mm × 240 mm の板に、幅 30 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 72 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 240 mm切り欠き: 30 × 30 mm穴の中心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −20σy​ = −50MPaτxy​ = ?

ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = −50 MPa である。最大主応力が 15 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。

σx = −20 MPaσy = −50 MPaσ1 = 15 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 120σy​ = 60τxy​ = 20MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。

σx = 120 MPaσy = 60 MPaτxy = 20 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 4 kN/mδL = 1.5 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 4 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 2 kN/mABδ3.5 m

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 2 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 3 m30 × 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 140 kNL = 5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 140 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 140 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.07106 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·7461 = 8.443 × 10⁸ N

縮み

δ = 150000·400/8.443 × 10⁸ = 0.07106 mm

答え

δ = 0.07106 mm
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 302.4 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 98.74 MPa
σ2 = 302.4 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 302.4 MPa

答え

σmax = 302.4 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 2.918 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(80000·613592) = 0.05093 rad
φ = 0.05093·180/π = 2.918°

答え

φ = 2.918°
4.軸のねじり

答え: τmax = 235.8 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

内部トルク

TC の向きを正とする。

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 1000 = 1250 N·m

最大せん断応力

内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。

|T|max = 1250 N·m
τmax = 16·1.25 × 10⁶/(π·30³) = 235.8 MPa

答え

τmax = 235.8 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 6 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 30/5 = 6 kN (上向き)
RA = −RB = −6 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には RA と偶力が含まれます。

Mx = RA·a + M0 = −6·4 + 30 = 6 kN·m

答え

Mx = 6 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: xc = 4.958 m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·8.5 = 42.5 kN、作用点 x̄ = 4.25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·8.5·4.25
RB = 180.6/6 = 30.1 kN
ΣFy = 0: RA = 42.5 − 30.1 = 12.4 kN

モーメント 0 の位置

支点間では M(x) = RA·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2RA/w で 0 になります。

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·12.4/5 = 4.958 m

答え

xc = 4.958 m
7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 112.7 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

b = 120 mm, h = 285 mm
A = BH − bh = 160·325 − 120·285 = 17800 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2.262 × 10⁸ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(2.262 × 10⁸/17800) = 112.7 mm

答え

r = 112.7 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 170.6 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (36000·120 − 900·72)/(36000 − 900) = 121.2 mm

ȳ まわりの全体の板

150·240³/12 + 36000·−1.231² = 172.9 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·30³/12 + 900·−49.23² = 2.249 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 170.6 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 170.6 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τxy = 47.7 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

必要な半径

C = (−20 + (−50))/2 = −35 MPa
R = σ1 − C = 15 − (−35) = 50 MPa
στxyCσ1​σ2​

せん断応力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 15²) = 47.7 MPa

答え

τxy = 47.7 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σvM = 109.5 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 90 MPa, R = 36.06 MPa
σ1 = 126.1 MPa, σ2 = 53.94 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(126.1² − 126.1·53.94 + 53.94²) = 109.5 MPa

答え

σvM = 109.5 MPa
11.はりのたわみ

答え: δ = 1.489 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 1.489 mm

答え

δ = 1.489 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 169.5 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·11.67) = 3.045 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·3.045 × 10⁷/75)1/3 = 169.5 mm

答え

hreq = 169.5 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 2.159 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·3000 = 6000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/6000² = 2159 N = 2.159 kN

答え

Pcr = 2.159 kN
14.柱の座屈

答え: d = 111 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 111 mm

答え

d = 111 mm

確認：細長比 KL/r は 126.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials