軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 200 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 105 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
鋼製の中実軸が 750 rpm で 15 kW を伝達する。せん断応力は 80 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 750 rpmτallow = 80 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mw = 10 kN/m（0 から 10 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 20 kN 位置 2.5 mw = 2 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 140 mm の底板と、全高 140 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 10 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。
b = 140 mmh = 140 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 40 MPa、圧縮で 90 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。
bf = 140 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 240 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 160 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 160 MPaσy = 80 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 500 mm、肉厚 10 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 50° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 500 mmt = 10 mmp = 1 MPaα = 50°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 20 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 77.55 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·2827) = 5.895 × 10⁻⁷ mm/N
荷重
P = 0.2/2.579 × 10⁻⁶ = 77552 N = 77.55 kN
答え
P = 77.55 kN
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 8.613 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 109.1 MPa
σ2 = 522.2 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 109.1·500/70000 = 0.7795 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 522.2·1500/100000 = 7.833 mm
δ = δ1 + δ2 = 8.613 mm
答え
δ = 8.613 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 0.4274 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·251327) = 0.00746 rad
φ = 0.00746·180/π = 0.4274°
答え
φ = 0.4274°
4.軸のねじり
答え: d = 34.36 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 15000/78.54 = 191 N·m
強度から決まる直径
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·80)) = 22.99 mm
剛性から決まる直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·190986/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 34.36 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(22.99, 34.36) = 34.36 mm
答え
d = 34.36 mm
ここでは剛性で決まります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 123.8 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
x = 4.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 50·4.5 − 10·4.5·2.25 = 123.8 kN·m
答え
Mx = 123.8 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 22.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2.5 + 2·4·2
RB = 66/4 = 16.5 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 16.5 = 11.5 kN
x = 2.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 11.5·2.5 − 2·2.5·1.25 = 22.5 kN·m
答え
Mx = 22.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: ȳ = 50.5 mm
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 140·10 = 1400 mm², y1 = 5 mm
2 本の脚: A2 = 2·10·130 = 2600 mm², y2 = 10 + 130/2 = 75 mm
図心
ȳ = (1400·5 + 2600·75)/4000 = 50.5 mm
答え
ȳ = 50.5 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: Mallow = 9.899 kN·m
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
図心
ȳ = (1400·245 + 4320·120)/5720 = 150.6 mm
上縁: c = 250 − 150.6 = 99.41 mm
断面二次モーメント
I = 140·10³/12 + 1400·94.41² + 18·240³/12 + 4320·30.59² = 3.727 × 10⁷ mm⁴
各縁で許容されるモーメント
正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。
上縁: M = 90·3.727 × 10⁷/99.41 = 33.74 kN·m
下縁: M = 40·3.727 × 10⁷/150.6 = 9.899 kN·m
決定値
Mallow = min = 9.899 kN·m (下縁)
答え
Mallow = 9.899 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 44.72 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((160 − 80)/2)² + −20²) = 44.72 MPa
答え
τmax = 44.72 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 17.66 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1·250/10 = 25 MPa
σa = pr/(2t) = 12.5 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 12.5·sin²50° + 25·cos²50° = 17.66 MPa
答え
σn = 17.66 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 2.367 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 2.367 mm
答え
δmax = 2.367 mm
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 5.493 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2500⁴/(384·200000·6.944) = 5.493 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 5.493 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 5.493 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 5.757 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5.757 kN
答え
Pcr = 5.757 kN
14.柱の座屈
答え: d = 46.61 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·20000 = 40000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 46.61 mm
答え
d = 46.61 mm
確認：細長比 KL/r は 171.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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