軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 70 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
長さ 0.8 m の黄銅製の中実軸がトルク 100 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 0.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 100 N·mL = 0.8 mG = 39 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
鋼製の中実軸が 500 rpm で 10 kW を伝達する。せん断応力は 40 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.5° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 2.5 mP = 55 kN 位置 1.5 mw = 2 kN/m（0 から 2.5 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 7.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mP = 25 kN 位置 7 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）x = 7.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 200 mm、厚さ 20 mm、全高は 240 mm、ウェブの厚さは 8 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 80 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。
B = 200 mmH = 240 mmtf = 20 mmtw = 8 mmM = 80 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 80 MPaσy = −70 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −10 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −50 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = −10 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPaσY = 350 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 3 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 16 kNw = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 26.42 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706.9) = 7.074 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.25/9.461 × 10⁻⁶ = 26425 N = 26.42 kN
答え
P = 26.42 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 222.8 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 72.76 MPa
σ2 = 222.8 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 222.8 MPa
答え
σmax = 222.8 MPa
3.軸のねじり
答え: d = 39.34 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·800/(39000·0.008727) = 235060 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 39.34 mm
答え
d = 39.34 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 40.86 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m
強度から決まる直径
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28.97 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·190986/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 40.86 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(28.97, 40.86) = 40.86 mm
答え
d = 40.86 mm
ここでは剛性で決まります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −29.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −55·0.5 = −27.5 kN·m
w: −2·1.5²/2 = −2.25 kN·m
Mx = −27.5 − 2.25 = −29.75 kN·m
答え
Mx = −29.75 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 100 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·7 + 6·10·5
RB = 475/10 = 47.5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 47.5 = 37.5 kN
x = 7.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 37.5·7.5 − 25·(7.5 − 7) − 6·7.5·3.75 = 100 kN·m
答え
Mx = 100 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 4.841 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 120 + 15/2 = 127.5 mm
ウェブ: Aw = 8·120 = 960 mm², yw = 120/2 = 60 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·127.5 + 960·60)/5460 = 115.6 mm
平行軸の定理
フランジ: 300·15³/12 + 4500·(127.5 − 115.6)² = 718211 mm⁴
ウェブ: 8·120³/12 + 960·(60 − 115.6)² = 4.123 × 10⁶ mm⁴
Ix = 718211 + 4.123 × 10⁶ = 4.841 × 10⁶ mm⁴ = 4.841 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 4.841 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σj = 78.13 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 240 − 2·20 = 200 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (200·240³ − 192·200³)/12
Ix = 1.024 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 120 − 20 = 100 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·100/1.024 × 10⁸ = 78.13 MPa
答え
σj = 78.13 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −14.04 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−40, 80 − −70) = −28.07°
要素上の角度
θp = −14.04°
答え
θp = −14.04°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 3.432
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −20 MPa, R = 50.99 MPa
σ1 = 30.99 MPa, σ2 = −70.99 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 102 MPa
n = 350/102 = 3.432
答え
n = 3.432
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δB = 2.706 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 3000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 1.082 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001623 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.706 mm
答え
δB = 2.706 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 14.36 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 16000 N, w = 15 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 16000·5000³/(48·1.14 × 10¹³) = 3.655 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 10.71 mm
足し合わせる
δmax = 3.655 + 10.71 = 14.36 mm
答え
δmax = 14.36 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 158.8 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·5000 = 5000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158.8 kN
答え
Pcr = 158.8 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 14.16 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/7.5 = 373.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/373.3² = 14.16 MPa
答え
σcr = 14.16 MPa
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