軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 70 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中空軸（外径 30 mm、内径 21 mm、長さ 0.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 100 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1450 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 75 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 4 mP1 = 80 kN 位置 1 mP2 = 30 kN 位置 2 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 25 kN 位置 4 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
円管の外径は D = 100 mm、内径は d = 84 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
D = 100 mmd = 84 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 240 mm の板に、幅 40 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 84 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 240 mm切り欠き: 40 × 40 mm穴の中心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −80 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 50°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −80 MPaσy = −80 MPaτxy = −50 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 120 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 2.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 4974 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 70·1000/201.1 = 348.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 348.2/70000 = 0.004974 = 4974 µε
答え
ε = 4974 µε
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 947.5 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1.184 × 10⁹ N
支配するひずみ
ε = min(0.0008, 0.0009091) = 0.0008 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.0008·1.184 × 10⁹ = 947504 N = 947.5 kN
答え
Pmax = 947.5 kN
3.軸のねじり
答え: φ = 1.823 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴
ねじれ角
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 100000·500/(26000·60428) = 0.03182 rad
φ = 0.03182·180/π = 1.823°
答え
φ = 1.823°
4.軸のねじり
答え: d = 39.77 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·493929/(π·40)) = 39.77 mm
答え
d = 39.77 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·4 = 80·1 + 30·2
RB = 140/4 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 35 = 75 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·1 = 75·1 = 75 kN·m
荷重点 P2: M = RB·2 = 35·2 = 70 kN·m
最大値
Mmax = 75 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 75 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 7 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·4 + 4·5·2.5
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 30 = 15 kN
x = 0.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15·0.5 − 4·0.5·0.25 = 7 kN·m
答え
Mx = 7 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 32.65 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
A = π(D² − d²)/4 = 2312 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2.465 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(2.465 × 10⁶/2312) = 32.65 mm
答え
r = 32.65 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 112.8 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·120 − 1600·84)/(24000 − 1600) = 122.6 mm
ȳ まわりの全体の板
100·240³/12 + 24000·−2.571² = 115.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
40·40³/12 + 1600·−38.57² = 2.594 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 112.8 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 112.8 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = −30.76 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −80 − 0·(−0.1736) − (−50)·0.9848 = −30.76 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −129.2 MPa, σx′ + σy′ = −160 = σx + σy
答え
σy′ = −30.76 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 143.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 70 + 50·0.342 + 60·0.9397 = 143.5 MPa
答え
σθ = 143.5 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 13.33 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 10·4000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 13.33 mm
答え
δ = 13.33 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 237 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·5000⁴/(384·11000·16.67) = 1.11 × 10⁸ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.11 × 10⁸/100)1/3 = 237 mm
答え
hreq = 237 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 158.8 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158.8 kN
答え
Pcr = 158.8 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/5 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
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