材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
P = ?12400 mm200 mmØ40Ø40δ = 0.5 mm

棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 35 mm銅2 mØ 16 mm鋼1.5 mP = 25 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 25 kN区間 1：Ø35 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
d1​ = 40 mmd2​ = 20 mmT = 200 N·mABC1 m1 m

鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 40 mm、長さ 1 m、区間 BC は直径 20 mm、長さ 1 m である。自由端 C にトルク 200 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

T = 200 N·md1 = 40 mm, L1 = 1 md2 = 20 mm, L2 = 1 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 1800 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 75 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 8 kN/mAB断面2 m2 m

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mw = 8 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
10 kN/m55 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 12 m15 kN @ 6 m10 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
B = 160H = 400t = 8x寸法の単位：mm

中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 160 mm、外高は H = 400 mm、壁厚は一様に t = 8 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

B = 160 mmH = 400 mmt = 8 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm240 mm84 mm30 × 20xIx​ = ?

200 mm × 240 mm の板に、幅 30 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 84 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 240 mm切り欠き: 30 × 20 mm穴の中心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 30σy​ = −60τxy​ = 20MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = 30 MPaσy = −60 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −20σy​ = 70τxy​ = −10MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −20 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 460 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = −20 MPaσy = 70 MPaτxy = −10 MPaσY = 460 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
w = 5 kN/mδL = 2.5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 20 kN/mδL = 2 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 4 md = 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 40 kNL = 2 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 40 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 40 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 164.6 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1.447 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.5/3.038 × 10⁻⁶ = 164560 N = 164.6 kN

答え

P = 164.6 kN
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 124.3 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 124.3 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 124.3 MPa

答え

σmax = 124.3 MPa
3.軸のねじり

答え: τmax = 127.3 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

各区間の応力

T = 200 N·m = 200000 N·mm
τAB = 16·200000/(π·40³) = 15.92 MPa
τBC = 16·200000/(π·20³) = 127.3 MPa

答え

τmax = 127.3 MPa
4.軸のねじり

答え: d = 30.01 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·397887/(π·75)) = 30.01 mm

答え

d = 30.01 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 16 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16断面2 m2 m

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 16·2 − 8·2·1 = 16 kN·m

答え

Mx = 16 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: F (x = 10 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 45 kN, R2 = 125 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 70, MC = 100, MD = 90, ME = 10, MF = −110 kN·m, MG = 0

答え

点 F: MF = −110 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 141.3 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

b = 144 mm, h = 384 mm
A = BH − bh = 160·400 − 144·384 = 8704 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 1.739 × 10⁸ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(1.739 × 10⁸/8704) = 141.3 mm

答え

r = 141.3 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 229.6 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (48000·120 − 600·84)/(48000 − 600) = 120.5 mm

ȳ まわりの全体の板

200·240³/12 + 48000·−0.4557² = 230.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·20³/12 + 600·−36.46² = 0.8174 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 229.6 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 229.6 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = 11.98 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·20, 30 − −60) = 23.96°

要素上の角度

θp = 11.98°

答え

θp = 11.98°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 5.498

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 25 MPa, R = 46.1 MPa
σ1 = 71.1 MPa, σ2 = −21.1 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(71.1² − 71.1·(−21.1) + (−21.1)²) = 83.67 MPa
n = 460/83.67 = 5.498

答え

n = 5.498

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δmax = 19.27 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 19.27 mm

答え

δmax = 19.27 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 10.71 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2000⁴/(384·70000·5.556) = 1.071 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 10.71 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 10.71 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 78.48 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·4000 = 4000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78.48 kN

答え

Pcr = 78.48 kN
14.柱の座屈

答え: d = 37.71 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·40000 = 100000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 37.71 mm

答え

d = 37.71 mm

確認：細長比 KL/r は 148.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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