材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
300 kNØ25110 GPaØ120/60600 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 300 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 30 mmアルミニウム2 mØ 20 mm銅2 mP = 75 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 75 kN区間 1：Ø30 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 75 mm, di​ = 56 mm

中空軸が 300 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 100 kWN = 300 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
4 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

45 kN @ 2 m4 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
5 kN/m40 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

40 kN @ 12 m15 kN @ 6 m5 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 190d = 178寸法の単位：mm

円管の外径は D = 190 mm、内径は d = 178 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 190 mmd = 178 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1802012010xM = 50 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 50 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 120 mmM = 50 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −50σy​ = 100τxy​ = 20MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = −50 MPaσy = 100 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 50σy​ = −30τxy​ = −60MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 50 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 15° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = 50 MPaσy = −30 MPaτxy = −60 MPaθ = 15°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 12 kN/mδL = 2.5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mP = 8 kNδL = 5 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 8 kNw = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 2 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 95 kNL = 2.5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 95 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.1745 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·8482 = 1.031 × 10⁹ N

縮み

δ = 300000·600/1.031 × 10⁹ = 0.1745 mm

答え

δ = 0.1745 mm
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 238.7 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 106.1 MPa
σ2 = 238.7 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 238.7 MPa

答え

σmax = 238.7 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 13.15 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(26000·251327) = 0.2296 rad
φ = 0.2296·180/π = 13.15°

答え

φ = 13.15°
4.軸のねじり

答え: τmax = 55.76 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m

断面二次極モーメント

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 3.183 × 10⁶·37.5/2.141 × 10⁶ = 55.76 MPa

答え

τmax = 55.76 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 40.67 kN, R2 = 20.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 38.67, MC = 73.33 kN·m, MD = 59, ME = 40.67, MF = 20.33, MG = 0

答え

点 C: MC = 73.33 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 3.75 kN, R2 = 91.25 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −2.5, MC = −25, MD = −67.5, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0

答え

点 E: ME = −160 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 65.09 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 3468 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.469 × 10⁷ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(1.469 × 10⁷/3468) = 65.09 mm

答え

r = 65.09 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 230.3 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm
ウェブ: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·130 + 1200·60)/4800 = 112.5 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·20³/12 + 3600·(130 − 112.5)² = 1.222 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·120³/12 + 1200·(60 − 112.5)² = 4.747 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.222 × 10⁶ + 4.747 × 10⁶ = 5.97 × 10⁶ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 140 − 112.5 = 27.5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·27.5/5.97 × 10⁶ = 230.3 MPa

答え

σ上端 = 230.3 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = 82.53 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·20, −50 − 100) = 165.1°

要素上の角度

θp = 82.53°

答え

θp = 82.53°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τθ = −71.96 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

τθ = −40·0.5 + −60·0.866 = −71.96 MPa

答え

τθ = −71.96 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 3.468 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 3.468 mm

答え

δmax = 3.468 mm
12.はりのたわみ

答え: δmax = 43.27 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 8000 N, w = 6 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 8000·5000³/(48·1.61 × 10¹²) = 12.94 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 30.33 mm

足し合わせる

δmax = 12.94 + 30.33 = 43.27 mm

答え

δmax = 43.27 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 248.1 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248.1 kN

答え

Pcr = 248.1 kN
14.柱の座屈

答え: d = 68.05 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 68.05 mm

答え

d = 68.05 mm

確認：細長比 KL/r は 102.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials