軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 300 kN棒: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 0.8 m の B にトルク 400 N·m が作用し、さらに 1.2 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 250 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 50 mmTB = 400 N·mTC = 250 N·mAB = 0.8 mBC = 1.2 mG = 26 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
45 kN @ 6 m12 kN/m, 0–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
10 kN @ 0 m30 kN @ 6 m15 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 50 MPa、圧縮で 90 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 140 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 70 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 50°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 70 MPaσy = −30 MPaτxy = 50 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が曲げモーメント 500 N·mとトルク 400 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 30 mmM = 500 N·mT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 16 kNa = 1.5 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 3 mP = 15 kN 位置 1.5 m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.408 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5.883 × 10⁸ N
縮み
δ = 300000·800/5.883 × 10⁸ = 0.408 mm
答え
δ = 0.408 mm
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 329.9 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4.712 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.0008, 0.0007) = 0.0007 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0007·4.712 × 10⁸ = 329867 N = 329.9 kN
答え
Pmax = 329.9 kN
3.軸のねじり
答え: φ = 0.4377 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·613592) = 0.007639 rad
φ = 0.007639·180/π = 0.4377°
答え
φ = 0.4377°
4.軸のねじり
答え: φC = 0.6465 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 400 = −150 N·m
各区間のねじれ角
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = −150000·800/(26000·613592) = −0.007522 rad
φBC = 250000·1200/(26000·613592) = 0.0188 rad
端 C のねじれ角
φC = −0.007522 + 0.0188 = 0.01128 rad → |φC| = 0.6465°
答え
φC = 0.6465°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 6 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 86.5 kN, R2 = 54.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 149, MC = 250, MD = 303 kN·m, ME = 218, MF = 109, MG = 0
答え
点 D: MD = 303 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: F (x = 5 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 8.75 kN, R2 = 46.25 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −10, MC = −11.25, MD = −12.5, ME = −13.75, MF = −30 kN·m, MG = 0
答え
点 F: MF = −30 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 45.66 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 280 + 15/2 = 287.5 mm
ウェブ: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3900·287.5 + 2240·140)/6140 = 233.7 mm
平行軸の定理
フランジ: 260·15³/12 + 3900·(287.5 − 233.7)² = 1.137 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 8·280³/12 + 2240·(140 − 233.7)² = 3.43 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.137 × 10⁷ + 3.43 × 10⁷ = 4.566 × 10⁷ mm⁴ = 45.66 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 45.66 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Mallow = 5.244 kN·m
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
図心
ȳ = (2600·145 + 2520·70)/5120 = 108.1 mm
上縁: c = 150 − 108.1 = 41.91 mm
断面二次モーメント
I = 260·10³/12 + 2600·36.91² + 18·140³/12 + 2520·38.09² = 1.134 × 10⁷ mm⁴
各縁で許容されるモーメント
正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。
上縁: M = 90·1.134 × 10⁷/41.91 = 24.34 kN·m
下縁: M = 50·1.134 × 10⁷/108.1 = 5.244 kN·m
決定値
Mallow = min = 5.244 kN·m (下縁)
答え
Mallow = 5.244 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = −20.56 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 20 − 50·(−0.1736) − 50·0.9848 = −20.56 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 60.56 MPa, σx′ + σy′ = 40 = σx + σy
答え
σy′ = −20.56 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 215.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·30³) = 188.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75.45 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 94.31 MPa
R = √(94.31² + 75.45²) = 120.8 MPa
σ1 = C + R = 215.1 MPa
σ2 = C − R = −26.47 MPa
答え
σ1 = 215.1 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 10.78 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 16000 N, a = 1500 mm, b = 6500 mm, L = 8000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 16000·1500²·6500²/(3·5.88 × 10¹²·8000) = 10.78 mm
答え
δP = 10.78 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 4.688 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·15/16 = 4.688 kN
答え
RB = 4.688 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 24.22 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·2500 = 5000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24.22 kN
答え
Pcr = 24.22 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 1.919 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/20 = 600
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1.919 MPa
答え
σcr = 1.919 MPa
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