軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 300 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 80 kN区間 1：Ø30 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 20 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 2.5 m の B にトルク 750 N·m が作用し、さらに 1.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 500 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 20 mmTB = 750 N·mTC = 500 N·mAB = 2.5 mBC = 1.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 1.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mw = 6 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1.5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
15 kN @ 6 m35 kN @ 1 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
円管の外径は D = 80 mm、内径は d = 52 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
D = 80 mmd = 52 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 25 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 240 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 160 mmM = 25 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = 60 MPa である。最大主応力が 100 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = −20 MPaσy = 60 MPaσ1 = 100 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 150 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 150 MPaσy = −70 MPaτxy = 50 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 4 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.3157 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·5890 = 4.752 × 10⁸ N
縮み
δ = 300000·500/4.752 × 10⁸ = 0.3157 mm
答え
δ = 0.3157 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 397.9 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 113.2 MPa
σ2 = 397.9 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 397.9 MPa
答え
σmax = 397.9 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 6.755 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(80000·79522) = 0.1179 rad
φ = 0.1179·180/π = 6.755°
答え
φ = 6.755°
4.軸のねじり
答え: φC = 5.699 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC − TB = 500 − 750 = −250 N·m
各区間のねじれ角
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −250000·2500/(80000·15708) = −0.4974 rad
φBC = 500000·1500/(80000·15708) = 0.5968 rad
端 C のねじれ角
φC = −0.4974 + 0.5968 = 0.09947 rad → |φC| = 5.699°
答え
φC = 5.699°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = 3 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 6·4·2
RB = 48/4 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 12 − 6·1.5 = 3 kN
答え
Vx = 3 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 4 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 18.75 kN, R2 = 31.25 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 18.75, MC = 2.5, MD = −13.75, ME = −30 kN·m, MF = −15, MG = 0
答え
点 E: ME = −30 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 23.85 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
A = π(D² − d²)/4 = 2903 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.652 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(1.652 × 10⁶/2903) = 23.85 mm
答え
r = 23.85 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 55 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 240·25 = 6000 mm², yf = 160 + 25/2 = 172.5 mm
ウェブ: Aw = 10·160 = 1600 mm², yw = 160/2 = 80 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·172.5 + 1600·80)/7600 = 153 mm
平行軸の定理
フランジ: 240·25³/12 + 6000·(172.5 − 153)² = 2.588 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·160³/12 + 1600·(80 − 153)² = 1.195 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.588 × 10⁶ + 1.195 × 10⁷ = 1.453 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 185 − 153 = 31.97 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·31.97/1.453 × 10⁷ = 55 MPa
答え
σ上端 = 55 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 69.28 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (−20 + 60)/2 = 20 MPa
R = σ1 − C = 100 − 20 = 80 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 40²) = 69.28 MPa
答え
τxy = 69.28 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 213.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 40 MPa, R = 120.8 MPa
σ1 = 160.8 MPa, σ2 = −80.83 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(160.8² − 160.8·(−80.83) + (−80.83)²) = 213.1 MPa
答え
σvM = 213.1 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 1.462 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 1.462 mm
答え
δmax = 1.462 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 7.5 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·4/8 = 7.5 kN
答え
RB = 7.5 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 8.478 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·5000 = 5000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8.478 kN
答え
Pcr = 8.478 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 69.09 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa
答え
σcr = 69.09 MPa
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