材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 30 mm黄銅2 mP = 60 kN

軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 60 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 40 mmアルミニウム1 mØ 20 mm黄銅0.5 mP = 15 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 15 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
d = ?T = 200 N·mL = 1 m

長さ 1 m の鋼製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

T = 200 N·mL = 1 mG = 80 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
d = 30 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 250 N·mABC1.2 m0.8 m

直径 30 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 1.2 m の B にトルク 100 N·m が作用し、さらに 0.8 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 250 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。

d = 30 mmTB = 100 N·mTC = 250 N·mAB = 1.2 mBC = 0.8 mG = 39 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 8 kN/mP = 40 kNAB断面0.5 m1.5 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 2 mP = 40 kN 位置 2 mw = 8 kN/m（0 から 2 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 3 kN/mP = 75 kNAB1 m9 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 10 mP = 75 kN 位置 1 mw = 3 kN/m（0 から 10 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
2201016010x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150230123701010x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 150 × 12 mm、高さ 370 mm・厚さ 10 mm のウェブ、下フランジ 230 × 10 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 150 × 12 mmウェブ: 10 × 370 mm下フランジ: 230 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −70σy​ = −40τxy​ = −60MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −70 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = −60 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σx = −70 MPaσy = −40 MPaτxy = −60 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
50°D = 800 mm, t = 15 mm, p = 1.5 MPap

内径 800 mm、肉厚 15 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 50° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目に沿って作用するせん断応力の大きさ |τn| を求めよ。

D = 800 mmt = 15 mmp = 1.5 MPaα = 50°
|τn| = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 12 kN/mP = 21 kNABδ2.5 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 21 kNw = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 20 kNAB4 m4 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。

L = 8 mP = 20 kN 位置 4 m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
PL = 2 m40 × 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 2.5 md = 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 1.698 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 60·1000/706.9 = 84.88 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 84.88/100000 = 0.0008488 = 848.8 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0008488·2000 mm = 1.698 mm

答え

δ = 1.698 mm
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.4093 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 11.94 MPa
σ2 = 47.75 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 11.94·1000/70000 = 0.1705 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 47.75·500/100000 = 0.2387 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.4093 mm

答え

δ = 0.4093 mm
3.軸のねじり

答え: d = 31.4 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

必要な断面二次極モーメント

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1000/(80000·0.02618) = 95493 mm⁴

直径

d = (32J/π)1/4 = 31.4 mm

答え

d = 31.4 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

4.軸のねじり

答え: φC = 7.02 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

内部トルク

TC の向きを正とする。

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 100 = 150 N·m

各区間のねじれ角

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 150000·1200/(39000·79522) = 0.05804 rad
φBC = 250000·800/(39000·79522) = 0.06449 rad

端 C のねじれ角

φC = 0.05804 + 0.06449 = 0.1225 rad → |φC| = 7.02°

答え

φC = 7.02°
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −69 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −40·1.5 = −60 kN·m
w: −8·1.5²/2 = −9 kN·m
Mx = −60 − 9 = −69 kN·m

答え

Mx = −69 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 84.38 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 75·1 + 3·10·5
RB = 225/10 = 22.5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 22.5 = 82.5 kN

V = 0 となるのはどこですか？

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (82.5 − 75)/3 = 2.5 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 84.38 kN·m

答え

Mmax = 84.38 kN·m

それは A から x = 2.5 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 10.12 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 160 + 10/2 = 165 mm
ウェブ: Aw = 10·160 = 1600 mm², yw = 160/2 = 80 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·165 + 1600·80)/3800 = 129.2 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·10³/12 + 2200·(165 − 129.2)² = 2.836 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·160³/12 + 1600·(80 − 129.2)² = 7.288 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.836 × 10⁶ + 7.288 × 10⁶ = 1.012 × 10⁷ mm⁴ = 10.12 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 10.12 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 189.8 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 1800 mm², y = 386 mm
ウェブ: A = 3700 mm², y = 195 mm
下フランジ: A = 2300 mm², y = 5 mm

図心

ȳ = (1800·386 + 3700·195 + 2300·5)/7800 = 183.1 mm

平行軸の定理

上フランジ: 150·12³/12 + 1800·202.9² = 7.416 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 10·370³/12 + 3700·11.95² = 4.274 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 230·10³/12 + 2300·178.1² = 7.293 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.416 × 10⁷ + 4.274 × 10⁷ + 7.293 × 10⁷
Ix = 1.898 × 10⁸ mm⁴ = 189.8 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 189.8 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τabs = 61.85 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

στxyCσ1​σ2​

面内の主応力

C = −55 MPa, R = √((−15)² + (−60)²) = 61.85 MPa
σ1 = 6.847 MPa, σ2 = −116.8 MPa, σz = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(123.7, 6.847, 116.8)/2 = 61.85 MPa

答え

τabs = 61.85 MPa

ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: |τn| = 9.848 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1.5·400/15 = 40 MPa
σa = pr/(2t) = 20 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

|τn| = (40 − 20)·sin 50°·cos 50° = 9.848 MPa

答え

|τn| = 9.848 MPa
11.はりのたわみ

答え: δ = 9.998 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 21000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(3EI) = 21000·2500³/(3·1.68 × 10¹³) = 6.51 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 3.488 mm

足し合わせる

δ = 6.51 + 3.488 = 9.998 mm

答え

δ = 9.998 mm
12.はりのたわみ

答え: MA = 30 kN·m

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·20/16 = 6.25 kN

固定端のモーメント

荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。

MA = P·L/2 − RB·L = 80 − 50 = 30 kN·m

答え

MA = 30 kN·m
13.柱の座屈

答え: Pcr = 94 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1400² = 93996 N = 94 kN

答え

Pcr = 94 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 126.3 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126.3 MPa

答え

σcr = 126.3 MPa

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