材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 30 mm黄銅0.5 mP = 30 kN

黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 30 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 40 mm黄銅1 mØ 16 mm鋼2 mP = 80 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 80 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 200 N·md = 40 mmL = 0.8 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 200 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = ?30 kW, 300 rpm

アルミニウム製の中実軸が 300 rpm で 30 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 3 kN/mP = 30 kNAB断面0.5 m0.5 m1.5 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 2.5 mP = 30 kN 位置 1 mw = 3 kN/m（0 から 2.5 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mP = 45 kNAB6 m4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 10 mP = 45 kN 位置 6 mw = 5 kN/m（0 から 10 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 230d = 222寸法の単位：mm

円管の外径は D = 230 mm、内径は d = 222 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 230 mmd = 222 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
2801514012xM = 10 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 10 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 140 mmM = 10 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 20σy​ = 120τxy​ = −10MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 20 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = 20 MPaσy = 120 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 120σy​ = 80τxy​ = 30MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。

σx = 120 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mδL = 3 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 2.5 kN/mABδ4.5 m

幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 2.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 1 m20 × 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 3 md = 25 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 424.4 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 30·1000/706.9 = 42.44 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 42.44/100000 = 0.0004244 = 424.4 µε

答え

ε = 424.4 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 397.9 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 397.9 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 397.9 MPa

答え

σmax = 397.9 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 0.9353 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·251327) = 0.01632 rad
φ = 0.01632·180/π = 0.9353°

答え

φ = 0.9353°
4.軸のねじり

答え: d = 68.04 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

強度から決まる直径

T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40.18 mm

剛性から決まる直径

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·954930/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 68.04 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(40.18, 68.04) = 68.04 mm

答え

d = 68.04 mm

ここでは剛性で決まります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −21 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −30·0.5 = −15 kN·m
w: −3·2²/2 = −6 kN·m
Mx = −15 − 6 = −21 kN·m

答え

Mx = −21 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 168 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·6 + 5·10·5
RB = 520/10 = 52 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 52 = 43 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(6⁻) = RA − w·6 = 13 kN
V(6⁺) = 13 − 45 = −32 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·6 − w·6²/2 = 43·6 − 5·6²/2 = 168 kN·m

答え

Mmax = 168 kN·m

それは A から x = 6 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 79.92 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 2840 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.814 × 10⁷ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(1.814 × 10⁷/2840) = 79.92 mm

答え

r = 79.92 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 29.55 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 140 + 15/2 = 147.5 mm
ウェブ: Aw = 12·140 = 1680 mm², yw = 140/2 = 70 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·147.5 + 1680·70)/5880 = 125.4 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·15³/12 + 4200·(147.5 − 125.4)² = 2.138 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 12·140³/12 + 1680·(70 − 125.4)² = 7.892 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.138 × 10⁶ + 7.892 × 10⁶ = 1.003 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 155 − 125.4 = 29.64 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·29.64/1.003 × 10⁷ = 29.55 MPa

答え

σ上端 = 29.55 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 50.99 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((20 − 120)/2)² + −10²) = 50.99 MPa

答え

τmax = 50.99 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σvM = 117.9 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

σxyCσ1​σ2​

主応力

C = 100 MPa, R = 36.06 MPa
σ1 = 136.1 MPa, σ2 = 63.94 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(136.1² − 136.1·63.94 + 63.94²) = 117.9 MPa

答え

σvM = 117.9 MPa
11.はりのたわみ

答え: δ = 4.746 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 4.746 mm

答え

δ = 4.746 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 210.4 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/360 = 4500/360 = 12.5 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·4500⁴/(384·11000·12.5) = 9.708 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·9.708 × 10⁷/125)1/3 = 210.4 mm

答え

hreq = 210.4 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 5.757 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5.757 kN

答え

Pcr = 5.757 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 17.48 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/6.25 = 336

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/336² = 17.48 MPa

答え

σcr = 17.48 MPa

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