材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
P = ?12500 mm300 mmØ25Ø50δ = 0.5 mm

棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 35 mm黄銅1 mØ 12 mmアルミニウム2 mP = 25 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 25 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
do​ = ?T = 2000 N·m

中空軸がトルク 2000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

T = 2000 N·mdi/do = 0.8τallow = 40 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
d = 25 mmT0​ = 100 N·mACBa = 3 mb = 2 m

直径 25 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 3 m、B から 2 m の C にトルク 100 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 25 mmT0 = 100 N·ma = 3 mb = 2 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
55 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 2 m55 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 3 kN/mP = 40 kNAB断面1 m5 m

支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 40 kN 位置 1 mw = 3 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm200 mm130 mmØ60xIx​ = ?

100 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 130 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mm穴の中心: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150240126xM = 60 kN·m寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 150 mm、厚さ 12 mm、全高は 240 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 60 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。

B = 150 mmH = 240 mmtf = 12 mmtw = 6 mmM = 60 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −60σy​ = 70τxy​ = 50MPa

ある点で σₓ = −60 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 40°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。

σx = −60 MPaσy = 70 MPaτxy = 50 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −80σy​ = −70τxy​ = 60MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −80 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。

σx = −80 MPaσy = −70 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mδL = 5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 5 kN/mAB6 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 6 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 1 m20 × 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 90 kNL = 5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 90 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 90 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 75.52 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1.528 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.5/6.621 × 10⁻⁶ = 75519 N = 75.52 kN

答え

P = 75.52 kN
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 221 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 221 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 221 MPa

答え

σmax = 221 MPa
3.軸のねじり

答え: do = 75.56 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·40·0.5904)) = 75.56 mm
di = 0.8·75.56 = 60.44 mm

答え

do = 75.56 mm

中実軸なら d = 63.38 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: τmax = 19.56 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2/5 = 40 N·m
TB = 100·3/5 = 60 N·m

最大せん断応力

2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。

τmax = 16·60000/(π·25³) = 19.56 MPa

答え

τmax = 19.56 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 82.5 kN, R2 = 27.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 165, MC = 220 kN·m, MD = 165, ME = 110, MF = 55, MG = 0

答え

点 C: MC = 220 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 40.83 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·1 + 3·6·3
RB = 94/6 = 15.67 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 15.67 = 42.33 kN
w = 3 kN/mP = 40 kNABRA​ = 42.33RB​ = 15.67断面1 m5 m

x = 1 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 42.33·1 − 3·1·0.5 = 40.83 kN·m

答え

Mx = 40.83 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (20000·100 − 2827·130)/(20000 − 2827) = 95.06 mm

ȳ まわりの全体の板

100·200³/12 + 20000·4.939² = 67.15 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·34.94² = 4.088 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σmax = 138.8 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 240 − 2·12 = 216 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·240³ − 144·216³)/12
Ix = 5.187 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

y = 120 mm
σ = M·y/I = 6 × 10⁷·120/5.187 × 10⁷ = 138.8 MPa

答え

σmax = 138.8 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σy′ = −32.95 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

y′ 面の座標変換の式

σy′ = 5 − (−65)·0.1736 − 50·0.9848 = −32.95 MPa

確認

垂直応力の和は回転しても変わりません。

σx′ = 42.95 MPa, σx′ + σy′ = 10 = σx + σy

答え

σy′ = −32.95 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σvM = 128.5 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = −75 MPa, R = 60.21 MPa
σ1 = −14.79 MPa, σ2 = −135.2 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √((−14.79)² − (−14.79)·(−135.2) + (−135.2)²) = 128.5 MPa

答え

σvM = 128.5 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 16.32 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 16.32 mm

答え

δmax = 16.32 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 11.25 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·6/8 = 11.25 kN

答え

RB = 11.25 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 161.1 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1000 = 700 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/700² = 161136 N = 161.1 kN

答え

Pcr = 161.1 kN
14.柱の座屈

答え: d = 73.03 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·90000 = 225000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 73.03 mm

答え

d = 73.03 mm

確認：細長比 KL/r は 191.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials