軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 35 kNd = 10 mmL = 3 mE = 100 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 85 kN区間 1：Ø30 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 5 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 5 kWN = 500 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 2.5 mP = 10 kN 位置 2.5 mw = 2 kN/m（0 から 2.5 m まで）
MA = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
45 kN @ 0 m60 kN @ 6 m35 kN @ 4 m5 kN/m, 1–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 300 mm の板に、幅 60 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 90 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 300 mm切り欠き: 60 × 30 mm穴の中心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 130 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 130 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 110 MPaσy = 70 MPaτxy = 50 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの 3 等分点（各支点から L/3）に等しい集中荷重 P が 2 つ作用する。重ね合わせを用いてスパン中央のたわみ δmax を求めよ。
P = 22 kNL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 70 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 70 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 4456 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 35·1000/78.54 = 445.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 445.6/100000 = 0.004456 = 4456 µε
答え
ε = 4456 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 270.6 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 120.3 MPa
σ2 = 270.6 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 270.6 MPa
答え
σmax = 270.6 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 13.51 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(80000·79522) = 0.2358 rad
φ = 0.2358·180/π = 13.51°
答え
φ = 13.51°
4.軸のねじり
答え: τmax = 8.731 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 95493·20/218755 = 8.731 MPa
答え
τmax = 8.731 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MA = −31.25 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −10·2.5 = −25 kN·m
w: −2·2.5²/2 = −6.25 kN·m
MA = −25 − 6.25 = −31.25 kN·m
答え
MA = −31.25 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: F (x = 5 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 60 kN, R2 = 100 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −45, MC = −32.5, MD = −25, ME = −22.5, MF = −60 kN·m, MG = 0
答え
点 F: MF = −60 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 12.43 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 160 + 10/2 = 165 mm
ウェブ: Aw = 14·160 = 2240 mm², yw = 160/2 = 80 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·165 + 2240·80)/4240 = 120.1 mm
平行軸の定理
フランジ: 200·10³/12 + 2000·(165 − 120.1)² = 4.05 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 14·160³/12 + 2240·(80 − 120.1)² = 8.38 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4.05 × 10⁶ + 8.38 × 10⁶ = 1.243 × 10⁷ mm⁴ = 12.43 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 12.43 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 218 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (30000·150 − 1800·90)/(30000 − 1800) = 153.8 mm
ȳ まわりの全体の板
100·300³/12 + 30000·−3.83² = 225.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
60·30³/12 + 1800·−63.83² = 7.469 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 218 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 218 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 3.005 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·10, 130 − −60) = 6.009°
要素上の角度
θp = 3.005°
答え
θp = 3.005°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 56.7 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 90 + 20·0.5 + 50·−0.866 = 56.7 MPa
答え
σθ = 56.7 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 9.04 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 9.04 mm
答え
δmax = 9.04 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 35.7 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 22000 N, L = 8000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
L/3 の位置の 1 つの荷重
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 17.85 mm
両方の荷重を足す
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 35.7 mm
答え
δmax = 35.7 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 2.04 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/4200² = 2040 N = 2.04 kN
答え
Pcr = 2.04 kN
14.柱の座屈
答え: d = 44.9 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 44.9 mm
答え
d = 44.9 mm
確認：細長比 KL/r は 133.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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