材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 20 mmアルミニウム2 mP = 10 kN

軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 10 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 40 mm黄銅0.5 mØ 12 mm銅1.5 mP = 65 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 65 kN区間 1：Ø40 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
d = 20 mmT = 50 N·m250 mmφ = 1.17°

ねじり試験で、直径 20 mm の中実試験片をトルク 50 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 1.17° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 50 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 1.17°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 3000 rpm で 20 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 20 kWN = 3000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 12 kN/mAB断面3.5 m2.5 m

支点 A から x = 3.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 12 kN/m（0 から 6 m まで）x = 3.5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 2 kN/mABC5 m2 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 7 mw = 2 kN/m（0 から 7 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
MB = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
2103001210x寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 210 mm、厚さ 12 mm、全高は 300 mm、ウェブの厚さは 10 mm である。 水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

B = 210 mmH = 300 mmtf = 12 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
2503601610xM = 200 kN·m寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 250 mm、厚さ 16 mm、全高は 360 mm、ウェブの厚さは 10 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 200 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。

B = 250 mmH = 360 mmtf = 16 mmtw = 10 mmM = 200 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −60σy​ = 80τxy​ = 30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −60 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 130σy​ = −60τxy​ = 20MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 130 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 300 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = 130 MPaσy = −60 MPaτxy = 20 MPaσY = 300 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
P = 24 kNABδ1 m5 m

単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 24 kNa = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 10 kN/mδL = 8 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 10 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 1 m20 × 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 1.5 md = 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.9095 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314.2 = 31.83 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 31.83/70000 = 0.0004547 = 454.7 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0004547·2000 mm = 0.9095 mm

答え

δ = 0.9095 mm
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 7.627 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 51.73 MPa
σ2 = 574.7 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 51.73·500/100000 = 0.2586 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 574.7·1500/117000 = 7.368 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.627 mm

答え

δ = 7.627 mm
3.軸のねじり

答え: G = 38.97 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.17·π/180 = 0.02042 rad

横弾性係数

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·250/(15708·0.02042) = 38970 MPa
G = 38.97 GPa

答え

G = 38.97 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: d = 15.94 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 20000/314.2 = 63.66 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·80)) = 15.94 mm

答え

d = 15.94 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Vx = −6 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·6·3
RB = 216/6 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 36RB​ = 36断面3.5 m2.5 m

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 36 − 12·3.5 = −6 kN

答え

Vx = −6 kN
6.せん断力と曲げモーメント

答え: MB = −4 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·7·3.5
RB = 49/5 = 9.8 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 9.8 = 4.2 kN

B で切断し、張出し部を残す

張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。

MB = −w·a²/2 = −2·2²/2 = −4 kN·m

答え

MB = −4 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 122.1 × 10⁶ mm⁴

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 300 − 2·12 = 276 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·300³ − 200·276³)/12
Ix = 1.221 × 10⁸ mm⁴ = 122.1 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 122.1 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σj = 123.2 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 360 − 2·16 = 328 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (250·360³ − 240·328³)/12
Ix = 2.662 × 10⁸ mm⁴

曲げ応力

y = 180 − 16 = 164 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁸·164/2.662 × 10⁸ = 123.2 MPa

答え

σj = 123.2 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 76.16 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−60 − 80)/2)² + 30²) = 76.16 MPa

答え

τmax = 76.16 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 1.747

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 35 MPa, R = 97.08 MPa
σ1 = 132.1 MPa, σ2 = −62.08 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(132.1² − 132.1·(−62.08) + (−62.08)²) = 171.8 MPa
n = 300/171.8 = 1.747

答え

n = 1.747

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δP = 56.02 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 24000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·1000²·5000²/(3·5.95 × 10¹¹·6000) = 56.02 mm

答え

δP = 56.02 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 342.9 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·8000⁴/(384·70000·22.22) = 3.429 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 342.9 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 342.9 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 27.63 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1000² = 27635 N = 27.63 kN

答え

Pcr = 27.63 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 197.4 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/15 = 100

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

答え

σcr = 197.4 MPa

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