軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 20 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 60 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 20 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 20 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.7τallow = 50 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 0.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 10 kN/m（0 から 8 m まで）x = 0.5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 7 mw = 10 kN/m（0 から 7 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
MB = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 120 mm の底板と、全高 60 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 12 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。
b = 120 mmh = 60 mmt = 12 mm
ȳ = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 20 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 220 mmM = 20 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 20 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 60°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 20 MPaσy = −50 MPaτxy = −10 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 600 mm、肉厚 15 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 25° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目に沿って作用するせん断応力の大きさ |τn| を求めよ。
D = 600 mmt = 15 mmp = 1.5 MPaα = 25°
|τn| = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 10 kNw = 5 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 80 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 80 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 636.6 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 20·1000/314.2 = 63.66 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 63.66/100000 = 0.0006366 = 636.6 µε
答え
ε = 636.6 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 191 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 122.2 MPa
σ2 = 191 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 191 MPa
答え
σmax = 191 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 5.976 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·38350) = 0.1043 rad
φ = 0.1043·180/π = 5.976°
答え
φ = 5.976°
4.軸のねじり
答え: do = 29.47 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
許容応力からの外径
T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·50·0.7599)) = 29.47 mm
di = 0.7·29.47 = 20.63 mm
答え
do = 29.47 mm
中実軸なら d = 26.89 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = 35 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
x = 0.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 40 − 10·0.5 = 35 kN
答え
Vx = 35 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: MB = −5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·7·3.5
RB = 245/6 = 40.83 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 40.83 = 29.17 kN
B で切断し、張出し部を残す
張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。
MB = −w·a²/2 = −10·1²/2 = −5 kN·m
答え
MB = −5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: ȳ = 19.33 mm
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 120·12 = 1440 mm², y1 = 6 mm
2 本の脚: A2 = 2·12·48 = 1152 mm², y2 = 12 + 48/2 = 36 mm
図心
ȳ = (1440·6 + 1152·36)/2592 = 19.33 mm
答え
ȳ = 19.33 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 26.16 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
ウェブ: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·230 + 2200·110)/8200 = 197.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 300·20³/12 + 6000·(230 − 197.8)² = 6.419 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·220³/12 + 2200·(110 − 197.8)² = 2.583 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.419 × 10⁶ + 2.583 × 10⁷ = 3.225 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 240 − 197.8 = 42.2 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·42.2/3.225 × 10⁷ = 26.16 MPa
答え
σ上端 = 26.16 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 11.16 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −15 − 35·(−0.5) − (−10)·0.866 = 11.16 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −41.16 MPa, σx′ + σy′ = −30 = σx + σy
答え
σy′ = 11.16 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: |τn| = 5.745 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 1.5·300/15 = 30 MPa
σa = pr/(2t) = 15 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
|τn| = (30 − 15)·sin 25°·cos 25° = 5.745 MPa
答え
|τn| = 5.745 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 4.867 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 4.867 mm
答え
δmax = 4.867 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 1.229 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 10000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm, EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 10000·1500³/(48·8.4 × 10¹¹) = 0.8371 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 0.3924 mm
足し合わせる
δmax = 0.8371 + 0.3924 = 1.229 mm
答え
δmax = 1.229 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 266.5 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·1000 = 1000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1000² = 266479 N = 266.5 kN
答え
Pcr = 266.5 kN
14.柱の座屈
答え: d = 73.46 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 73.46 mm
答え
d = 73.46 mm
確認：細長比 KL/r は 228.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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