材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mmアルミニウム1.5 mP = 85 kN

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 85 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 35 mm鋼1 mØ 20 mm黄銅2 mP = 25 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 25 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 400 N·md = 50 mmL = 1.5 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 400 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 40 mm, di​ = 32 mm

中空軸が 1500 rpm で 20 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 20 kWN = 1500 rpmdo = 40 mmdi = 32 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
12 kN/m50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 10 m12 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 8 kN/mP = 50 kNAB4 m4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mP = 50 kN 位置 4 mw = 8 kN/m（0 から 8 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
1804201612x寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 180 mm、厚さ 16 mm、全高は 420 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

B = 180 mmH = 420 mmtf = 16 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
2801030018xM = 30 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 30 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。

bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 18 mmhw = 300 mmM = 30 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −40σy​ = 40τxy​ = 30MPa

ある点で σₓ = −40 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = −40 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 160σy​ = −30τxy​ = 60MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 160 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = 160 MPaσy = −30 MPaτxy = 60 MPaσY = 350 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mABθ4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
P = 7 kNABδ3.5 m1.5 m

単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。

P = 7 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 6 m40 × 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 25 kNL = 2.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 25 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 25 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 10737 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 85·1000/113.1 = 751.6 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 751.6/70000 = 0.01074 = 10737 µε

答え

ε = 10737 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 79.58 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 79.58 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 79.58 MPa

答え

σmax = 79.58 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 2.155 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(26000·613592) = 0.03761 rad
φ = 0.03761·180/π = 2.155°

答え

φ = 2.155°
4.軸のねじり

答え: τmax = 17.16 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m

断面二次極モーメント

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 127324·20/148384 = 17.16 MPa

答え

τmax = 17.16 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 72.33 kN, R2 = 73.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 120.7, MC = 193.3, MD = 218 kN·m, ME = 194.7, MF = 147.3, MG = 0

答え

点 D: MD = 218 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 164 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 8·8·4
RB = 456/8 = 57 kN
ΣFy = 0: RA = 114 − 57 = 57 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(4⁻) = RA − w·4 = 25 kN
V(4⁺) = 25 − 50 = −25 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 57·4 − 8·4²/2 = 164 kN·m

答え

Mmax = 164 kN·m

それは A から x = 4 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 293.6 × 10⁶ mm⁴

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 420 − 2·16 = 388 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·420³ − 168·388³)/12
Ix = 2.936 × 10⁸ mm⁴ = 293.6 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 293.6 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ下端 = 71.77 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
ウェブ: Aw = 18·300 = 5400 mm², yw = 300/2 = 150 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·305 + 5400·150)/8200 = 202.9 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·10³/12 + 2800·(305 − 202.9)² = 2.92 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 18·300³/12 + 5400·(150 − 202.9)² = 5.563 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.92 × 10⁷ + 5.563 × 10⁷ = 8.482 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 202.9 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·202.9/8.482 × 10⁷ = 71.77 MPa

答え

σ下端 = 71.77 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θs = 26.57 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θs = 30/50 = 0.6, sin 2θs = −(−40)/50 = 0.8
2θs = atan2(40, 30) = 53.13°

要素上の角度

θs = 26.57°
確認: θs − θp = 26.57 − 71.57 = −45°

答え

θs = 26.57°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 1.557

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 65 MPa, R = 112.4 MPa
σ1 = 177.4 MPa, σ2 = −47.36 MPa, σ3 = 0

トレスカ

σmax − σmin = 224.7 MPa
n = 350/224.7 = 1.557

答え

n = 1.557

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: θA = 0.01587 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

端部のたわみ角

θA = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·2.52 × 10¹²) = 0.01587 rad

答え

θA = 0.01587 rad

これは 0.9095° です。

12.はりのたわみ

答え: δmid = 5.729 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 7000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

中央たわみ

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 7000·1500·(3·5000² − 4·1500²)/(48·2.52 × 10¹²) = 5.729 mm

答え

δmid = 5.729 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 29.84 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/4200² = 29840 N = 29.84 kN

答え

Pcr = 29.84 kN
14.柱の座屈

答え: d = 59.93 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 59.93 mm

答え

d = 59.93 mm

確認：細長比 KL/r は 333.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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