軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 50 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1800 rpm で 75 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 75 kWN = 1800 rpmdo = 75 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
30 kN @ 4 m50 kN @ 8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 6 mw = 5 kN/m（0 から 6 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 4 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 260 mm の底板と、全高 150 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 14 mm である。 図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
b = 260 mmh = 150 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
溶接 I 形断面は、上フランジ 110 × 14 mm、高さ 230 mm・厚さ 12 mm のウェブ、下フランジ 190 × 10 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
上フランジ: 110 × 14 mmウェブ: 12 × 230 mm下フランジ: 190 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 140 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 140 MPaσy = 40 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 70 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 70 MPaσy = −70 MPaτxy = −20 MPaσY = 350 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 8 kNw = 2 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。
L = 3 mP = 45 kN 位置 1.5 m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 45 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 26.89 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1.608 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.3/1.116 × 10⁻⁵ = 26889 N = 26.89 kN
答え
P = 26.89 kN
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.194 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 39.79 MPa
σ2 = 159.2 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 39.79·1000/100000 = 0.3979 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 159.2·1000/200000 = 0.7958 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.194 mm
答え
δ = 1.194 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 0.4669 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·613592) = 0.008149 rad
φ = 0.008149·180/π = 0.4669°
答え
φ = 0.4669°
4.軸のねじり
答え: τmax = 8.136 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1.834 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 397887·37.5/1.834 × 10⁶ = 8.136 MPa
答え
τmax = 8.136 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 8 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 36.67 kN, R2 = 43.33 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 73.33, MC = 146.7, MD = 160, ME = 173.3 kN·m, MF = 86.67, MG = 0
答え
点 E: ME = 173.3 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 5.625 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·6·3
RB = 90/4 = 22.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 22.5 = 7.5 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 7.5/5 = 1.5 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 7.5²/(2·5) = 5.625 kN·m
答え
Mmax = 5.625 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 16.4 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 260·14 = 3640 mm², y1 = 7 mm
2 本の脚: A2 = 2·14·136 = 3808 mm², y2 = 14 + 136/2 = 82 mm
図心
ȳ = (3640·7 + 3808·82)/7448 = 45.35 mm
平行軸の定理
基剤: 260·14³/12 + 3640·(7 − 45.35)² = 5.412 × 10⁶ mm⁴
2 本の脚: 2·14·136³/12 + 3808·(82 − 45.35)² = 1.099 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.412 × 10⁶ + 1.099 × 10⁷
Ix = 1.64 × 10⁷ mm⁴ = 16.4 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 16.4 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 62.23 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
3 つの長方形に分割
y はすべて下端から測ります。
上フランジ: A = 1540 mm², y = 247 mm
ウェブ: A = 2760 mm², y = 125 mm
下フランジ: A = 1900 mm², y = 5 mm
図心
ȳ = (1540·247 + 2760·125 + 1900·5)/6200 = 118.5 mm
平行軸の定理
上フランジ: 110·14³/12 + 1540·128.5² = 2.544 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 12·230³/12 + 2760·6.471² = 1.228 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 190·10³/12 + 1900·113.5² = 2.45 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.544 × 10⁷ + 1.228 × 10⁷ + 2.45 × 10⁷
Ix = 6.223 × 10⁷ mm⁴ = 62.23 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 62.23 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 64.03 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((140 − 40)/2)² + 40²) = 64.03 MPa
答え
τmax = 64.03 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.776
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 0 MPa, R = 72.8 MPa
σ1 = 72.8 MPa, σ2 = −72.8 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(72.8² − 72.8·(−72.8) + (−72.8)²) = 126.1 MPa
n = 350/126.1 = 2.776
答え
n = 2.776
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δ = 6.039 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 8000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 8000·1500³/(3·1.7 × 10¹²) = 5.294 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 0.7445 mm
足し合わせる
δ = 5.294 + 0.7445 = 6.039 mm
答え
δ = 6.039 mm
12.はりのたわみ
答え: MA = 25.31 kN·m
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·45/16 = 14.06 kN
固定端のモーメント
荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。
MA = P·L/2 − RB·L = 67.5 − 42.19 = 25.31 kN·m
答え
MA = 25.31 kN·m
13.柱の座屈
答え: Pcr = 96.89 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN
答え
Pcr = 96.89 kN
14.柱の座屈
答え: d = 135 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·45000 = 112500 N
KL = 2·5000 = 10000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·112500·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 135 mm
答え
d = 135 mm
確認：細長比 KL/r は 296.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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