軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 120 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 1 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 1.2 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 750 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 40 mmTB = 250 N·mTC = 750 N·mAB = 1 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに、A から x = 4.5 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 50 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mM0 = 50 kN·m 時計回り、位置 4.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mP = 20 kN 位置 5 mw = 5 kN/m（0 から 10 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 130 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mm穴の中心: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 210 mm、厚さ 20 mm、全高は 420 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 80 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。
B = 210 mmH = 420 mmtf = 20 mmtw = 12 mmM = 80 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −70 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 60°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −70 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −40 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 20° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −40 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPaθ = -20°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 3 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 5 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 7639 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 120·1000/78.54 = 1528 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1528/200000 = 0.007639 = 7639 µε
答え
ε = 7639 µε
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 412.3 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·5890 = 6.872 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00125, 0.0006) = 0.0006 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006·6.872 × 10⁸ = 412334 N = 412.3 kN
答え
Pmax = 412.3 kN
3.軸のねじり
答え: φ = 0.7183 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·613592) = 0.01254 rad
φ = 0.01254·180/π = 0.7183°
答え
φ = 0.7183°
4.軸のねじり
答え: τmax = 59.68 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 250 = 500 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 750 N·m
τmax = 16·750000/(π·40³) = 59.68 MPa
答え
τmax = 59.68 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −37.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。
支点反力
A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 50/6 = 8.333 kN (上向き)
RA = −RB = −8.333 kN (下向き)
偶力のすぐ左で切断
左側部分には RA だけが含まれます。
Mx = RA·a = −8.333·4.5 = −37.5 kN·m
答え
Mx = −37.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 112.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·5 + 5·10·5
RB = 350/10 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 35 = 35 kN
x = 5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 35·5 − 5·5·2.5 = 112.5 kN·m
答え
Mx = 112.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 78.68 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·100 − 1257·130)/(24000 − 1257) = 98.34 mm
ȳ まわりの全体の板
120·200³/12 + 24000·1.658² = 80.07 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·40⁴/64 + 1257·31.66² = 1.385 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 78.68 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 78.68 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σj = 38.86 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 420 − 2·20 = 380 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·420³ − 198·380³)/12
Ix = 3.912 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 210 − 20 = 190 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·190/3.912 × 10⁸ = 38.86 MPa
答え
σj = 38.86 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = −25.18 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −15 − (−55)·(−0.5) − (−20)·0.866 = −25.18 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −4.821 MPa, σx′ + σy′ = −30 = σx + σy
答え
σy′ = −25.18 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −41.52 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −−5·−0.6428 + −50·0.766 = −41.52 MPa
答え
τθ = −41.52 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 5.87 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 3000 N, a = 3000 mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa³/(3EI) = 3000·3000³/(3·4.6 × 10¹²) = 5.87 mm
答え
δP = 5.87 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 28.13 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28.13 kN
答え
RB = 28.13 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 35.98 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4000² = 35983 N = 35.98 kN
答え
Pcr = 35.98 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 6.94 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/7.5 = 533.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533.3² = 6.94 MPa
答え
σcr = 6.94 MPa
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