材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mmアルミニウム1.5 mP = 120 kN

軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 120 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 25 mm鋼2 mØ 20 mm銅0.5 mP = 110 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 110 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
d = 15 mmT = 40 N·m250 mmφ = 4.43°

ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 40 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 4.43° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 40 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 4.43°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 1500 rpm で 20 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 40 kN·mAB1.5 m2.5 m

単純ばりに、A から x = 1.5 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 40 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mM0 = 40 kN·m 時計回り、位置 1.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
15 kN/m10 kN20 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

10 kN @ 0 m20 kN @ 6 m40 kN @ 3 m15 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
260202408x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
2801022014xM = 50 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 50 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 220 mmM = 50 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 60σy​ = −60MPaτxy​ = ?

ある点で σₓ = 60 MPa、σᵧ = −60 MPa である。最大主応力が 120 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。

σx = 60 MPaσy = −60 MPaσ1 = 120 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
60°D = 600 mm, t = 5 mm, p = 2.5 MPap

内径 600 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 60° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。

D = 600 mmt = 5 mmp = 2.5 MPaα = 60°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mδL = 8 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 8 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 12 kN/mδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 2 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 135 kNL = 6 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 135 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 135 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 22.74 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 120·1000/113.1 = 1061 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1061/70000 = 0.01516 = 15158 µε

伸び

δ = ε·L = 0.01516·1500 mm = 22.74 mm

答え

δ = 22.74 mm
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 350.1 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 224.1 MPa
σ2 = 350.1 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 350.1 MPa

答え

σmax = 350.1 MPa
3.軸のねじり

答え: G = 26.02 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 4.43·π/180 = 0.07732 rad

横弾性係数

T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·250/(4970·0.07732) = 26023 MPa
G = 26.02 GPa

答え

G = 26.02 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: d = 20.52 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·75)) = 20.52 mm

答え

d = 20.52 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −15 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 40/4 = 10 kN (上向き)
RA = −RB = −10 kN (下向き)

偶力のすぐ左で切断

左側部分には RA だけが含まれます。

Mx = RA·a = −10·1.5 = −15 kN·m

答え

Mx = −15 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 35.83 kN, R2 = 79.17 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −10, MC = 8.333, MD = 11.67, ME = −40 kN·m, MF = −20, MG = 0

答え

点 E: ME = −40 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 33.09 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
ウェブ: Aw = 8·240 = 1920 mm², yw = 240/2 = 120 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5200·250 + 1920·120)/7120 = 214.9 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·20³/12 + 5200·(250 − 214.9)² = 6.564 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·240³/12 + 1920·(120 − 214.9)² = 2.652 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.564 × 10⁶ + 2.652 × 10⁷ = 3.309 × 10⁷ mm⁴ = 33.09 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 33.09 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 102.4 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
ウェブ: Aw = 14·220 = 3080 mm², yw = 220/2 = 110 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·225 + 3080·110)/5880 = 164.8 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·10³/12 + 2800·(225 − 164.8)² = 1.018 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 14·220³/12 + 3080·(110 − 164.8)² = 2.166 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.018 × 10⁷ + 2.166 × 10⁷ = 3.184 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 230 − 164.8 = 65.24 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·65.24/3.184 × 10⁷ = 102.4 MPa

答え

σ上端 = 102.4 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τxy = 103.9 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

必要な半径

C = (60 + (−60))/2 = 0 MPa
R = σ1 − C = 120 − 0 = 120 MPa
στxyCσ1​σ2​

せん断応力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(120² − 60²) = 103.9 MPa

答え

τxy = 103.9 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σn = 93.75 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 2.5·300/5 = 150 MPa
σa = pr/(2t) = 75 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

σn = 75·sin²60° + 150·cos²60° = 93.75 MPa

答え

σn = 93.75 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 50.79 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 8000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·8000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 50.79 mm

答え

δmax = 50.79 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2500⁴/(384·11000·6.944) = 7.99 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 151.4 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151.4 kN

答え

Pcr = 151.4 kN
14.柱の座屈

答え: d = 92.66 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·135000 = 405000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 92.66 mm

答え

d = 92.66 mm

確認：細長比 KL/r は 181.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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