材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 90 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.軸応力とひずみむずかしい

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σ_max を求めよ。

P = 65 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）

σ_max = MPa

3.軸のねじりふつう

ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 30 N·m でねじる。標点距離 400 mm の両端は互いに 5.32° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 30 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 5.32°

G = GPa

4.軸のねじりむずかしい

中空軸が 500 rpm で 10 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

P = 10 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 3 m5 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。支点間の最大の正の曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 6 mw = 8 kN/m（0 から 6 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 4 m

M_max = kN·m

7.図心と断面二次モーメントふつう

対称な I 形断面のフランジは幅 170 mm、厚さ 20 mm、全高は 400 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

B = 170 mmH = 400 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 40 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_上端 = MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 130 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。面内の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

σ_x = 130 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 60 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。法線が x 軸から反時計回りに 25° 回転した面上のせん断応力 τ_θ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σ_x = 60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント I_req を求めよ。

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 6395 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 90·1000/201.1 = 447.6 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 447.6/70000 = 0.006395 = 6395 µε

答え

ε = 6395 µε

2.軸応力とひずみ

答え: σ_max = 574.7 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 67.56 MPa

σ₂ = 574.7 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σ_max = 574.7 MPa

答え

σ_max = 574.7 MPa

3.軸のねじり

答え: G = 26 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5.32·π/180 = 0.09285 rad

横弾性係数

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·400/(4970·0.09285) = 26003 MPa

G = 26 GPa

答え

G = 26 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: τ_max = 8.94 MPa

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

断面二次極モーメント

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

最大せん断応力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·25/534071 = 8.94 MPa

答え

τ_max = 8.94 MPa

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 33.75 kN, R₂ = 31.25 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 33.75, M_C = 65, M_D = 91.25 kN·m, M_E = 62.5, M_F = 31.25, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 91.25 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 9 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·6·3

R_B = 144/4 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 36 = 12 kN

せん断力 0 の位置

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12/8 = 1.5 m

最大の正の曲げモーメント

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 12²/(2·8) = 9 kN·m

答え

M_max = 9 kN·m

7.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 292.4 × 10⁶ mm⁴

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − t_w)、高さ h_w = H − 2t_f で、軸 x を共有します。

h_w = 400 − 2·20 = 360 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·400³ − 158·360³)/12

I_x = 2.924 × 10⁸ mm⁴ = 292.4 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 292.4 × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 107.6 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

ウェブ: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·155 + 1960·70)/7360 = 132.4 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·30³/12 + 5400·(155 − 132.4)² = 3.172 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 14·140³/12 + 1960·(70 − 132.4)² = 1.082 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.172 × 10⁶ + 1.082 × 10⁷ = 1.4 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 170 − 132.4 = 37.64 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·37.64/1.4 × 10⁷ = 107.6 MPa

答え

σ_上端 = 107.6 MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_max = 60.83 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

モールの応力円の半径

τ_max = R = √(((130 − 110)/2)² + 60²) = 60.83 MPa

答え

τ_max = 60.83 MPa

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_θ = −7.793 MPa

変換式

τ_θ = −−15·0.766 + −30·0.6428 = −7.793 MPa

答え

τ_θ = −7.793 MPa

11.はりのたわみ

答え: δ_max = 15.87 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 15.87 mm

答え

δ_max = 15.87 mm

12.はりのたわみ

答え: I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·8000⁴/(384·200000·22.22) = 2.4 × 10⁸ mm⁴

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

答え

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

13.柱の座屈

答え: P_cr = 19.69 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2100² = 19687 N = 19.69 kN

答え

P_cr = 19.69 kN

14.柱の座屈

答え: σ_cr = 157.4 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/6.25 = 112

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157.4 MPa

答え

σ_cr = 157.4 MPa

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