材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 100 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.軸応力とひずみむずかしい

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σ_max を求めよ。

P = 105 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）

σ_max = MPa

3.軸のねじりふつう

鋼製の中空軸（外径 40 mm、内径 24 mm、長さ 2.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 400 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 400 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 2.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中実軸が 1450 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 4 m10 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

40 kN @ 0 m55 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 10 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_上端 = MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。面内の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

直径 60 mm の中実軸が軸引張力 50 kNとトルク 500 N·m を同時に受ける。軸の表面で、面内最大せん断応力 τ_max を求めよ。

d = 60 mmF = 50 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 2 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 7 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.07679 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N

縮み

δ = 100000·500/6.511 × 10⁸ = 0.07679 mm

答え

δ = 0.07679 mm

2.軸応力とひずみ

答え: σ_max = 928.4 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 148.5 MPa

σ₂ = 928.4 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σ_max = 928.4 MPa

答え

σ_max = 928.4 MPa

3.軸のねじり

答え: φ = 3.274 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

ねじれ角

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·2500/(80000·218755) = 0.05714 rad

φ = 0.05714·180/π = 3.274°

答え

φ = 3.274°

4.軸のねじり

答え: d = 23.26 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·40)) = 23.26 mm

答え

d = 23.26 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 21.67 kN, R₂ = 18.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 43.33, M_C = 86.67 kN·m, M_D = 70, M_E = 53.33, M_F = 36.67, M_G = 0

答え

点 C: M_C = 86.67 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 16.67 kN, R₂ = 78.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −126.7, M_D = −173.3, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

答え

点 E: M_E = −220 kN·m

7.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 66.2 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

ウェブ: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·305 + 4200·150)/6400 = 203.3 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·10³/12 + 2200·(305 − 203.3)² = 2.278 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 14·300³/12 + 4200·(150 − 203.3)² = 4.342 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.278 × 10⁷ + 4.342 × 10⁷ = 6.62 × 10⁷ mm⁴ = 66.2 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 66.2 × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 33.11 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207.5 mm

ウェブ: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·207.5 + 2800·100)/4600 = 142.1 mm

平行軸の定理

フランジ: 120·15³/12 + 1800·(207.5 − 142.1)² = 7.741 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 14·200³/12 + 2800·(100 − 142.1)² = 1.429 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.741 × 10⁶ + 1.429 × 10⁷ = 2.203 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 215 − 142.1 = 72.93 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·72.93/2.203 × 10⁷ = 33.11 MPa

答え

σ_上端 = 33.11 MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_max = 70.71 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

モールの応力円の半径

τ_max = R = √(((40 − −60)/2)² + 50²) = 70.71 MPa

答え

τ_max = 70.71 MPa

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_max = 14.74 MPa

表面の応力

σ = F/A = 50000/(π·60²/4) = 50000/2827 = 17.68 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa

モールの応力円

C = σ/2 = 8.842 MPa

R = √(8.842² + 11.79²) = 14.74 MPa

答え

τ_max = 14.74 MPa

11.はりのたわみ

答え: δ = 5.002 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·2.53 × 10¹¹) = 5.002 mm

答え

δ = 5.002 mm

12.はりのたわみ

答え: δ_max = 1.299 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 7000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 7000·2000³/(48·1.7 × 10¹²) = 0.6863 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 0.6127 mm

足し合わせる

δ_max = 0.6863 + 0.6127 = 1.299 mm

答え

δ_max = 1.299 mm

13.柱の座屈

答え: P_cr = 34.88 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·6000 = 6000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34.88 kN

答え

P_cr = 34.88 kN

14.柱の座屈

答え: σ_cr = 44.22 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa

答え

σ_cr = 44.22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials