材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 75 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、青銅でできた区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.軸のねじりふつう

中空軸がトルク 400 N·m を受けなければならない。内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 d_o を求めよ。

T = 400 N·md_i/d_o = 0.7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.軸のねじりむずかしい

鋼製の中実軸が 500 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 50 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 6 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 40 kN 位置 2 mw = 8 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2 m

M_x = kN·m

7.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

150 mm × 240 mm の板に、幅 30 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 144 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 240 mm切り欠き: 30 × 40 mm穴の中心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θ_p を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σ_x = 0 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 110 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（σ_z = 0）。材料の降伏強さは 275 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σ_x = 110 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 8 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント I_req を求めよ。

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.4534 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 75·1000/706.9 = 106.1 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 106.1/117000 = 0.0009069 = 906.9 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0009069·500 mm = 0.4534 mm

答え

δ = 0.4534 mm

2.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 38.06 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 110000·1257/300 = 460767 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 100000·460767/963422 = 47826 N

応力

σ₂ = 47826/1257 = 38.06 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 38.06 MPa

3.軸のねじり

答え: d_o = 40.62 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·40·0.7599)) = 40.62 mm

d_i = 0.7·40.62 = 28.43 mm

答え

d_o = 40.62 mm

中実軸なら d = 37.07 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: d = 40.86 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m

強度から決まる直径

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·50)) = 33.89 mm

剛性から決まる直径

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 40.86 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(33.89, 40.86) = 40.86 mm

答え

d = 40.86 mm

ここでは剛性で決まります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 31.5 kN, R₂ = 27.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 63, M_C = 118, M_D = 157 kN·m, M_E = 110, M_F = 55, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 157 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 56 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN、作用点 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 8·4·2

R_B = 144/4 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 36·2 − 8·2·1 = 56 kN·m

答え

M_x = 56 kN·m

7.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 3.804 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107.5 mm

ウェブ: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·107.5 + 1400·50)/3200 = 82.34 mm

平行軸の定理

フランジ: 120·15³/12 + 1800·(107.5 − 82.34)² = 1.173 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 14·100³/12 + 1400·(50 − 82.34)² = 2.631 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.173 × 10⁶ + 2.631 × 10⁶ = 3.804 × 10⁶ mm⁴ = 3.804 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 3.804 × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 171.9 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (36000·120 − 1200·144)/(36000 − 1200) = 119.2 mm

ȳ まわりの全体の板

150·240³/12 + 36000·0.8276² = 172.8 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·40³/12 + 1200·24.83² = 0.8997 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 171.9 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 171.9 × 10⁶ mm⁴

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θ_p = 39.35 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θ_p = atan2(2·50, 0 − −20) = 78.69°

要素上の角度

θ_p = 39.35°

答え

θ_p = 39.35°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 1.997

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σ_Y に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σ_Y/2 に達したときに降伏すると予測します。

主応力

C = 95 MPa, R = 42.72 MPa

σ₁ = 137.7 MPa, σ₂ = 52.28 MPa, σ₃ = 0

トレスカ

σ_max − σ_min = 137.7 MPa

n = 275/137.7 = 1.997

答え

n = 1.997

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δ = 1.101 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·4.6 × 10¹²) = 1.101 mm

答え

δ = 1.101 mm

12.はりのたわみ

答え: I_req = 25.71 × 10⁶ mm⁴

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·70000·11.11) = 2.571 × 10⁷ mm⁴

I_req = 25.71 × 10⁶ mm⁴

答え

I_req = 25.71 × 10⁶ mm⁴

13.柱の座屈

答え: P_cr = 56.06 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1000 = 700 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/700² = 56060 N = 56.06 kN

答え

P_cr = 56.06 kN

14.柱の座屈

答え: σ_cr = 31.58 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31.58 MPa

答え

σ_cr = 31.58 MPa

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