数値計算法：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

数値計算法

二分法
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
ニュートン–ラフソン法
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
線形補間
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
台形公式
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
シンプソンの公式（n は偶数）
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
台形公式の誤差評価
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
オイラー
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ホイン法
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

解き方

  1. 方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
  2. 表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
  3. 積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
  4. 常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。

数列と級数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径
R = lim |ck/ck+1|
テイラー多項式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

  1. 種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
  2. 和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
  3. 収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
  4. テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

行列と行列式

2×2 の行列式
det = ad − bc
2×2 の逆行列
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品
(AB)ij = Σk AikBkj
固有値
det(A − λI) = 0
クラメルの公式
xi = det(Ai)/det(A)

微分方程式

指数関数的な増加・減少
dy/dt = ky → y = y0ekt
半減期
k = ln 2 / t½
ニュートンの冷却法則
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
積分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合タンク
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.数値計算法ふつう
xy01.53

シンプソンの公式を n = 2 個の短冊で使って、∫03 √x·e−x dx を近似してください。S を答えてください。

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 2
S =
2.数値計算法むずかしい
00.20.40.612ty(0, 1)

オイラー法を h = 0.25 で y′ = t + y、y(0) = 1 に使い、y3 ≈ y(0.75) を推定してください。

y′ = t + yy(0) = 1h = 0.25
y3 =
3.数列と級数ふつう
AΣ (1 + 1/k)ᵏk = 1 … ∞BΣ (3/5)ᵏk = 1 … ∞CΣ (−1)ᵏ/kk = 1 … ∞DΣ 2ᵏ/k!k = 1 … ∞

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが発散します。それをクリックしてください。

A: Σ (1 + 1/k)ᵏB: Σ (3/5)ᵏC: Σ (−1)ᵏ/kD: Σ 2ᵏ/k!
  1. 1A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
  2. 2B: Σ (3/5)ᵏ
  3. 3C: Σ (−1)ᵏ/k
  4. 4D: Σ 2ᵏ/k!
4.数列と級数むずかしい

級数を見抜いて、その和を求めましょう：S = Σk=0∞ (−1)ᵏ/(2k)!。

ak = (−1)ᵏ/(2k)!
S =
5.行列と行列式ふつう
A =−445554−14−2

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [−4 4 5; 5 5 4; −1 4 −2]
det A =
6.行列と行列式むずかしい
A =2−312b =1−2

連立方程式 2x − 3y = 1、x + 2y = −2 を解きなさい。x を求めなさい。

2x − 3y = 1x + 2y = −2
x =
7.微分方程式ふつう
t (min)T (°C)15Ta​43 °C56 °C

86 °C のコーヒーを 24 °C の部屋に置いておきます。 15 分後の温度は 43 °C です。 温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 開始から 56 °C に達するまでの時間 t を求めなさい。

T0 = 86 °CTa = 24 °CT(15) = 43 °CT = 56 °C
t = min
8.微分方程式むずかしい
tyK = 10y(1.5) = ?

系が t ≥ 0 で y″ + 3y′ + 18.25y = 182.5 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(1.5) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 3y′ + 18.25y = 182.5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =

3溶液

1.数値計算法

答え: S = 0.5897

数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。

ixᵢf(xᵢ)体重000111.50.2732784230.08623371

節点と値

h = 1.5
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0.273278 + 0.0862337 = 1.179344

シンプソンの公式

S = (1.5/3)·1.179344 = 0.5897

答え

S = 0.5897

この積分には初等的な原始関数がなく、まさにそのようなときに数値的な公式が必要になります。

2.数値計算法

答え: y3 = 2.156

y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁00111.2510.251.251.51.62520.51.6252.1252.15625

オイラー法のステップ

y₁ = 1 + 0.25·(1) = 1.25
y₂ = 1.25 + 0.25·(1.5) = 1.625
y₃ = 1.625 + 0.25·(2.125) = 2.15625
00.20.40.612ty

グラフ

y3 = 2.156

答え

y3 = 2.156

厳密な値は y(0.75) = 2.484 です。

3.数列と級数

答え: A: Σ (1 + 1/k)ᵏ

収束：項が 0 に近づかなければ、級数は発散します（第 n 項判定法）。Σ1/kᵖ が収束するのは p > 1 のときだけで、Σrᵏ が収束するのは |r| < 1 のときだけです。k が大きいときに項がこれらと同じようにふるまうなら、級数をこれらと比較します。比判定法：L = lim |ak+1/ak|、根判定法：L = lim |ak|1/k。L < 1 なら収束、L > 1 なら発散、L = 1 なら何も決まりません。べき級数 Σck(x − x₀)ᵏ は |x − x₀| < R で収束し、R = lim |ck/ck+1| です。項が 0 に減少していく交代級数は収束します。

各級数を判定する

A: Σ (1 + 1/k)ᵏ → 項は 0 ではなく e に近づきます：第 n 項判定法により発散します。
B: Σ (3/5)ᵏ → r = 3/5 の等比級数で |r| < 1：収束します。
C: Σ (−1)ᵏ/k → 交代級数で、1/k が 0 に減少します：（条件）収束します。
D: Σ 2ᵏ/k! → 比判定法：L = lim 2/(k + 1) = 0 < 1 なので収束します。

答え

A: Σ (1 + 1/k)ᵏ

答え

A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4.数列と級数

答え: S = 0.5403

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

標準的な級数

Σ (−1)ᵏx2k/(2k)! = cos x

代入する

x = 1
S = cos 1 = 0.5403

答え

S = 0.5403
5.行列と行列式

答え: det A = 253

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −26, M₁₂ = −6, M₁₃ = 25

余因子展開

det A = (−4)·(−26) − 4·(−6) + 5·25 = 253

答え

det A = 253
6.行列と行列式

答え: x = −0.5714

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

係数行列の行列式

det A = 2·2 − (−3)·1 = 7

x の列を置き換える

det Aₓ = 1·2 − (−3)·(−2) = −4
x = −4/7 = −0.5714

答え

x = −0.5714
y = −0.7143
7.微分方程式

答え: t = 8.388 min

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·ekt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e∫p dx を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却定数

k = ln(62/19)/15 = 0.07885 min⁻¹

目標温度に達するまでの時間

t = ln(62/32)/0.07885 = 8.388 min

答え

t = 8.388 min
8.微分方程式

答え: y(1.5) = 9.098

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

定常値と根

yss = 10, r = −1.5 ± 4j

初期値から求める定数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −3.75

計算する

y(1.5) = 10·(1 − e−2.25(cos 6 + 0.375·sin 6)) = 9.098

答え

y(1.5) = 9.098

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