数値計算法：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

数値計算法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
ニュートン–ラフソン法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
線形補間: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
台形公式: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
シンプソンの公式（n は偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
台形公式の誤差評価: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
オイラー: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ホイン法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

解き方

方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.数値計算法ふつう

台形公式を n = 6 個の短冊で使って、∫₀^1.5 e^−x² dx を近似してください。T を答えてください。

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 1.5]n = 6

T =

2.数値計算法むずかしい

古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）を、h = 0.5 で 1 ステップ、y′ = 1 + sin(ty)、y(0) = 0.5 に適用してください。y₁ ≈ y(0.5) を求めてください。

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.5

y₁ =

3.数列と級数ふつう

Σ_k=1^∞ ((2k + 3)/(3k + 1))ᵏ に根判定法を適用してください。L = lim |a_k|^1/k を求めてください。

a_k = ((2k + 3)/(3k + 1))ᵏ

L =

4.数列と級数むずかしい

a = 1 のまわりでの f(x) = ∛x のテイラー級数で、(x − 1)³ の係数 c₃ を求めてください。

f(x) = ∛xa = 1k = 3

c₃ =

5.行列と行列式ふつう

示された行列について C = AB とします。成分 c₁₁（第 1 行、第 1 列）を求めなさい。

A = [−1 −6; 0 6]B = [2 1; 0 2]

c₁₁ =

6.行列と行列式むずかしい

連立方程式 −5x + 3y = 5、−x − 2y = −8 を解きなさい。x を求めなさい。

−5x + 3y = 5−x − 2y = −8

x =

7.微分方程式ふつう

80 °C のコーヒーを 24 °C の部屋に置いておきます。 25 分後の温度は 29 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。開始から 55 °C に達するまでの時間 t を求めなさい。

T₀ = 80 °CT_a = 24 °CT(25) = 29 °CT = 55 °C

t = min

8.微分方程式むずかしい

タンクに、塩 10 kg を溶かした水が 200 L 入っています。 1 L あたり 0.25 kg の塩を含む塩水が 5 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。 65 分後にタンク内にある塩の量 m を求めなさい。

V = 200 Lm₀ = 10 kgc = 0.25 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3溶液

1.数値計算法

答え: T = 0.8545

数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。

節点と値

h = 0.25

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0.939413 + 2·0.778801 + 2·0.569783 + 2·0.367879 + 2·0.209611 + 0.105399 = 6.836374

台形公式

T = (0.25/2)·6.836374 = 0.8545

答え

T = 0.8545

この積分には初等的な原始関数がなく、まさにそのようなときに数値的な公式が必要になります。

2.数値計算法

答え: y₁ = 1.108

y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。

4 つの傾き

k₁ = f(0, 0.5) = 1

k₂ = f(0.25, 0.75) = 1.186403

k₃ = f(0.25, 0.796601) = 1.197836

k₄ = f(0.5, 1.098918) = 1.522226

組み合わせる

y₁ = 0.5 + (0.5/6)(1 + 2·1.186403 + 2·1.197836 + 1.522226) = 1.108

答え

y₁ = 1.108

3.数列と級数

答え: L = 0.6667

項の累乗根

|a_k|^1/k = (2k + 3)/(3k + 1) → 2/3

結論

L = 0.6667 < 1

答え

L = 0.6667

L < 1 なので、級数は収束します。

4.数列と級数

答え: c₃ = 0.06173

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数 f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = 0.3704·x^{1/3 − 3}

係数

c₃ = 0.3704·1^{1/3 − 3}/3! = 0.06173

c₃ = 0.06173

答え

c₃ = 0.06173

5.行列と行列式

答え: c₁₁ = −2

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

行 × 列

c₁₁ = (−1)·2 + (−6)·0 = −2

答え

c₁₁ = −2

6.行列と行列式

答え: x = 1.077

係数行列の行列式

det A = (−5)·(−2) − 3·(−1) = 13

x の列を置き換える

det Aₓ = 5·(−2) − 3·(−8) = 14

x = 14/13 = 1.077

答え

x = 1.077

y = 3.462

7.微分方程式

答え: t = 6.119 min

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却定数

k = ln(56/5)/25 = 0.09664 min⁻¹

目標温度に達するまでの時間

t = ln(56/31)/0.09664 = 6.119 min

答え

t = 6.119 min

8.微分方程式

答え: m = 42.12 kg

方程式を立てる

dm/dt = 5·0.25 − (5/200)·m = 1.25 − 0.025·m

解く

積分因子は e^rt/V で、解は平衡量 c·V に近づきます。

m(t) = 50 + (−40)·e^−t/40

t を代入する

m(65) = 50 + (−40)·0.1969 = 42.12 kg

答え

m = 42.12 kg

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