数値計算法：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

数値計算法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
ニュートン–ラフソン法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
線形補間: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
台形公式: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
シンプソンの公式（n は偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
台形公式の誤差評価: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
オイラー: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ホイン法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

解き方

方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.数値計算法ふつう

シンプソンの公式を n = 2 個の短冊で使って、∫₀^1.5 1/(1 + x³) dx を近似してください。S を答えてください。

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 2

S =

2.数値計算法むずかしい

ホイン法（改良オイラー法）を h = 0.5 で y′ = 1 + sin(ty)、y(0) = 0.5 に使い、y₃ ≈ y(1.5) を推定してください。

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.5

y₃ =

3.数列と級数ふつう

べき級数 Σ_k=1^∞ 4ᵏx²ᵏ/k の収束半径 R を求めてください。

Σ 4ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.数列と級数むずかしい

級数を見抜いて、その和を求めましょう：S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·0.5^2k/(2k)!。

a_k = (−1)ᵏ·0.5^2k/(2k)!

S =

5.行列と行列式ふつう

示された行列について C = AB とします。成分 c₂₁（第 2 行、第 1 列）を求めなさい。

A = [1 −1; −1 −6]B = [3 −3; −6 5]

c₂₁ =

6.行列と行列式むずかしい

連立方程式 −5x − y = −7、4x − 2y = −5 を解きなさい。x を求めなさい。

−5x − y = −74x − 2y = −5

x =

7.微分方程式ふつう

y(0) = 5、y′(0) = 1 として y″ + 3y′ + 2y = 0 を解きなさい。y(1.5) を求めなさい。

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 5y′(0) = 1

y(1.5) =

8.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 2y′ + 10y = 20 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.5) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 2y′ + 10y = 20y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

3溶液

1.数値計算法

答え: S = 1.01

数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。

節点と値

h = 0.75

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0.703297 + 0.228571 = 4.041758

シンプソンの公式

S = (0.75/3)·4.041758 = 1.01

答え

S = 1.01

この積分には初等的な原始関数がなく、まさにそのようなときに数値的な公式が必要になります。

2.数値計算法

答え: y₃ = 2.479

y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。

ホイン法のステップ

y₁ = 0.5 + (0.5/2)(1 + 1.479426) = 1.119856

y₂ = 1.119856 + (0.5/2)(1.531125 + 1.950913) = 1.990366

y₃ = 1.990366 + (0.5/2)(1.913264 + 0.0422988) = 2.479257

グラフ

y₃ = 2.479

答え

y₃ = 2.479

3.数列と級数

答え: R = 0.5

係数

この級数は x² の級数です：4·x² < 1 で収束するので、|x| < 1/2 です。

半径

R = 0.5

答え

R = 0.5

比判定法は 2 つの端点については何も教えてくれません。別に調べる必要があります。

4.数列と級数

答え: S = 0.8776

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

標準的な級数

Σ (−1)ᵏx^2k/(2k)! = cos x

代入する

x = 0.5

S = cos 0.5 = 0.8776

答え

S = 0.8776

5.行列と行列式

答え: c₂₁ = 33

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

行 × 列

c₂₁ = (−1)·3 + (−6)·(−6) = 33

答え

c₂₁ = 33

6.行列と行列式

答え: x = 0.6429

係数行列の行列式

det A = (−5)·(−2) − (−1)·4 = 14

x の列を置き換える

det Aₓ = (−7)·(−2) − (−1)·(−5) = 9

x = 9/14 = 0.6429

答え

x = 0.6429

y = 3.786

7.微分方程式

答え: y(1.5) = 2.156

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 1)(r + 2) = 0 → r = −1, −2

初期値から求める定数

A + B = 5, −1A − 2B = 1

A = 11, B = −6

計算する

y(1.5) = 11·e^−1.5 + (−6)·e⁻³ = 2.156

答え

y(1.5) = 2.156

8.微分方程式

答え: y(0.5) = 1.511

定常値と根

y_ss = 2, r = −1 ± 3j

初期値から求める定数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1A + 3B = 0 → B = −0.6667

計算する

y(0.5) = 2·(1 − e^−0.5(cos 1.5 + 0.3333·sin 1.5)) = 1.511

答え

y(0.5) = 1.511

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