数値計算法：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

数値計算法

二分法
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
ニュートン–ラフソン法
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
線形補間
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
台形公式
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
シンプソンの公式（n は偶数）
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
台形公式の誤差評価
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
オイラー
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ホイン法
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

解き方

  1. 方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
  2. 表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
  3. 積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
  4. 常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。

数列と級数

等差数列
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径
R = lim |ck/ck+1|
テイラー多項式
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

  1. 種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
  2. 和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
  3. 収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
  4. テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

行列と行列式

2×2 の行列式
det = ad − bc
2×2 の逆行列
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品
(AB)ij = Σk AikBkj
固有値
det(A − λI) = 0
クラメルの公式
xi = det(Ai)/det(A)

微分方程式

指数関数的な増加・減少
dy/dt = ky → y = y0ekt
半減期
k = ln 2 / t½
ニュートンの冷却法則
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
積分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合タンク
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.数値計算法ふつう
xy01.53

台形公式を n = 2 個の短冊で使って、∫03 √x·e−x dx を近似してください。T を答えてください。

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 2
T =
2.数値計算法むずかしい
00.510.60.81ty(0, 1)

オイラー法を刻み幅 h = 0.25 で t = 1.25 まで使って、y′ = t − y、y(0) = 1 を解いてください。厳密解は y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t です。大域誤差 |E| = |y(1.25) − y5| を求めてください。

y′ = t − yy(0) = 1h = 0.25
|E| =
3.数列と級数ふつう
AΣ (5/4)ᵏk = 1 … ∞BΣ 3ᵏ/k³k = 1 … ∞CΣ (k + 3)/k²k = 1 … ∞DΣ (−1)ᵏ/kk = 1 … ∞

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが収束します。それをクリックしてください。

A: Σ (5/4)ᵏB: Σ 3ᵏ/k³C: Σ (k + 3)/k²D: Σ (−1)ᵏ/k
  1. 1A: Σ (5/4)ᵏ
  2. 2B: Σ 3ᵏ/k³
  3. 3C: Σ (k + 3)/k²
  4. 4D: Σ (−1)ᵏ/k
4.数列と級数むずかしい

f(x) = cos x を、x = 0.5 で n 次のマクローリン多項式により近似します。M = 1 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差が 0.0005 未満になることを保証する最小の次数 n を求めてください。

f(x) = cos xx = 0.5M = 1ε = 0.0005
n =
5.行列と行列式ふつう
A =−2415B =3−3−3−4

示された行列について C = AB とします。成分 c11（第 1 行、第 1 列）を求めなさい。

A = [−2 4; 1 5]B = [3 −3; −3 −4]
c11 =
6.行列と行列式むずかしい
A =−1−332b =10−8

連立方程式 −x − 3y = 10、3x + 2y = −8 を解きなさい。x を求めなさい。

−x − 3y = 103x + 2y = −8
x =
7.微分方程式ふつう
t (min)T (°C)21Ta​T = ?

3 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 26 °C の部屋に出します。 温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.08 min⁻¹ として、21 分後の温度 T を求めなさい。

T0 = 3 °CTa = 26 °Ck = 0.08 min⁻¹t = 21 min
T = °C
8.微分方程式むずかしい
tyK = 2ymax​ = ?

系が t ≥ 0 で y″ + 4y′ + 13y = 26 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 ymax を求めなさい。

y″ + 4y′ + 13y = 26y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

3溶液

1.数値計算法

答え: T = 0.4746

数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。

ixᵢf(xᵢ)体重000111.50.2732782230.08623371

節点と値

h = 1.5
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.273278 + 0.0862337 = 0.632789

台形公式

T = (1.5/2)·0.632789 = 0.4746

答え

T = 0.4746

この積分には初等的な原始関数がなく、まさにそのようなときに数値的な公式が必要になります。

2.数値計算法

答え: |E| = 0.0984

y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁001−10.7510.250.75−0.50.62520.50.625−0.1250.5937530.750.593750.156250.632813410.6328130.3671880.724609

オイラー法のステップ

y5 = 0.724609

厳密な値

y(1.25) = 0.82301

大域誤差

|E| = |0.82301 − 0.724609| = 0.0984
00.510.60.81ty

グラフ

答え

|E| = 0.0984

h を半分にすると、オイラー法の誤差はおよそ半分になります。

3.数列と級数

答え: D: Σ (−1)ᵏ/k

収束：項が 0 に近づかなければ、級数は発散します（第 n 項判定法）。Σ1/kᵖ が収束するのは p > 1 のときだけで、Σrᵏ が収束するのは |r| < 1 のときだけです。k が大きいときに項がこれらと同じようにふるまうなら、級数をこれらと比較します。比判定法：L = lim |ak+1/ak|、根判定法：L = lim |ak|1/k。L < 1 なら収束、L > 1 なら発散、L = 1 なら何も決まりません。べき級数 Σck(x − x₀)ᵏ は |x − x₀| < R で収束し、R = lim |ck/ck+1| です。項が 0 に減少していく交代級数は収束します。

各級数を判定する

A: Σ (5/4)ᵏ → r = 5/4 > 1 の等比級数：項が大きくなるので発散します。
B: Σ 3ᵏ/k³ → 比判定法：L = 3 > 1 なので発散します。
C: Σ (k + 3)/k² → k が大きいと 1/k のようにふるまいます：調和級数との比較により発散します。
D: Σ (−1)ᵏ/k → 交代級数で、1/k が 0 に減少します：（条件）収束します。

答え

D: Σ (−1)ᵏ/k

答え

D: Σ (−1)ᵏ/k
4.数列と級数

答え: n = 4

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

n(n + 1)!評価値010.5120.125260.020833240.00260441200.0002604

n を増やしたときの評価値

n = 3: 0.002604 ≥ 0.0005
n = 4: 0.0002604 < 0.0005

最小の次数

n = 4

答え

n = 4
5.行列と行列式

答え: c11 = −18

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

行 × 列

c11 = (−2)·3 + 4·(−3) = −18

答え

c11 = −18
6.行列と行列式

答え: x = −0.5714

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

係数行列の行列式

det A = (−1)·2 − (−3)·3 = 7

x の列を置き換える

det Aₓ = 10·2 − (−3)·(−8) = −4
x = −4/7 = −0.5714

答え

x = −0.5714
y = −3.143
7.微分方程式

答え: T = 21.71 °C

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·ekt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e∫p dx を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却法則の解

T(t) = 26 + (−23)·e−0.08t

t を代入する

T(21) = 26 + (−23)·0.1864 = 21.71 °C

答え

T = 21.71 °C
8.微分方程式

答え: ymax = 2.246

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = ert とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·er₁t + B·er₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·ert（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 の形に書くと、ωn は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

定常値と根

yss = 2, r = −2 ± 3j

初期値から求める定数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −1.333

ピーク

t = π/3 = 1.047
ymax = 2·(1 + e−2·π/3) = 2.246

答え

ymax = 2.246

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