数値計算法：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

数値計算法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
ニュートン–ラフソン法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
線形補間: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
台形公式: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
シンプソンの公式（n は偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
台形公式の誤差評価: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
オイラー: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ホイン法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

解き方

方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.数値計算法ふつう

∫₁³ 1/x dx に台形公式を使います。誤差は、[1, 3] 上で M = max|f″| として、最大でも (b − a)³·M/(12n²) です。誤差が 0.001 未満になることを保証する最小の短冊の数 n を求めてください。

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0.001

n =

2.数値計算法むずかしい

古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）を、h = 0.2 で 1 ステップ、y′ = e^−ty、y(0) = 1 に適用してください。y₁ ≈ y(0.2) を求めてください。

y′ = e^−tyy(0) = 1h = 0.2

y₁ =

3.数列と級数ふつう

和 S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)) を求めてください。

a_k = 12/(k(k + 3))

S =

4.数列と級数むずかしい

f(x) = cos x を、x = 0.5 で n 次のマクローリン多項式により近似します。M = 1 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差が 0.0005 未満になることを保証する最小の次数 n を求めてください。

f(x) = cos xx = 0.5M = 1ε = 0.0005

n =

5.行列と行列式ふつう

示された行列について C = AB とします。成分 c₁₂（第 1 行、第 2 列）を求めなさい。

A = [6 −2; 1 3]B = [−4 −5; −1 −3]

c₁₂ =

6.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [0 −2; 2 5]

λ =

7.微分方程式ふつう

y(0) = 2、y′(0) = 0 として y″ + 6y′ + 9y = 0 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(2) =

8.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + y′ + 16.25y = 32.5 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 y_max を求めなさい。

y″ + y′ + 16.25y = 32.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3溶液

1.数値計算法

答え: n = 37

数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。

2 階導関数の評価

M = 2/1³ = 2

n について解く

n² > 8·2/(12·0.001) = 1333

n > 36.51 → n = 37

答え

n = 37

2.数値計算法

答え: y₁ = 1.179

y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。

4 つの傾き

k₁ = f(0, 1) = 1

k₂ = f(0.1, 1.1) = 0.895834

k₃ = f(0.1, 1.089583) = 0.896768

k₄ = f(0.2, 1.179354) = 0.789883

組み合わせる

y₁ = 1 + (0.2/6)(1 + 2·0.895834 + 2·0.896768 + 0.789883) = 1.179

答え

y₁ = 1.179

3.数列と級数

答え: S = 7.333

部分分数展開

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

キャンセル

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7.333

答え

S = 7.333

4.数列と級数

答え: n = 4

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

n を増やしたときの評価値

n = 3: 0.002604 ≥ 0.0005

n = 4: 0.0002604 < 0.0005

最小の次数

n = 4

答え

n = 4

5.行列と行列式

答え: c₁₂ = −24

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

行 × 列

c₁₂ = 6·(−5) + (−2)·(−3) = −24

答え

c₁₂ = −24

6.行列と行列式

答え: λ = 4

固有方程式

λ² − (5)λ + (4) = 0

解く

λ = (5 ± √(9))/2 → λ = 1, 4

λ = 4

答え

λ = 4

7.微分方程式

答え: y(2) = 0.0347

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 3)² = 0 → r = −3

定数

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = 0 + 6 = 6

計算する

y(2) = (2 + 6·2)·e⁻⁶ = 0.0347

答え

y(2) = 0.0347

8.微分方程式

答え: y_max = 3.35

定常値と根

y_ss = 2, r = −0.5 ± 4j

初期値から求める定数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0.5A + 4B = 0 → B = −0.25

ピーク

t = π/4 = 0.7854

y_max = 2·(1 + e^−0.5·π/4) = 3.35

答え

y_max = 3.35

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