数値計算法：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

数値計算法

二分法: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
ニュートン–ラフソン法: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
線形補間: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
台形公式: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
シンプソンの公式（n は偶数）: S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
台形公式の誤差評価: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
オイラー: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ホイン法: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

解き方

方程式の解では：二分法なら符号の変化を確かめ、ニュートン法なら f と f′ を計算し、反復値の表では有効数字を 6 桁以上保ちましょう。
表の値では：隣り合う 2 点の間で線形補間しましょう。
積分では：h = (b − a)/n を求め、すべての節点で f を並べ、重み（台形公式は 1, 2, …, 2, 1、n が偶数のシンプソンの公式は 1, 4, 2, …, 4, 1）を適用して、h/2 または h/3 を掛けます。
常微分方程式では：t₀ から yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（オイラー法）または平均した傾き（ホイン法）で進み、1 ステップにつき 1 行で、求められた t に達するまで続けます。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.数値計算法ふつう

シンプソンの公式を n = 2 で使って ∫₁² 1/x dx を近似し、厳密な値と比べてください。絶対誤差 |E| = |S − I| を求めてください。

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 2

|E| =

2.数値計算法むずかしい

オイラー法を h = 0.5 で y′ = e^−ty、y(0) = 0.5 に使い、y₅ ≈ y(2.5) を推定してください。

y′ = e^−tyy(0) = 0.5h = 0.5

y₅ =

3.数列と級数ふつう

べき級数 Σ_k=1^∞ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏ は、x₀ = −2 を中心とする区間で収束します。その区間の左端 x を求めてください。

Σ k!·(x + 2)ᵏ/kᵏx₀ = −2

x =

4.数列と級数むずかしい

f(x) = 1/(1 + x) の 3 次のマクローリン多項式を使って、f(−0.4) を近似してください。P₃(−0.4) を答えてください。

f(x) = 1/(1 + x)n = 3x = −0.4

P₃(−0.4) =

5.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [−5 −3 4; −2 5 −1; 4 3 −2]

det A =

6.行列と行列式むずかしい

連立方程式 −6x + 4y = −6、5x + 5y = 8 を解きなさい。x を求めなさい。

−6x + 4y = −65x + 5y = 8

x =

7.微分方程式ふつう

85 °C のコーヒーを 20 °C の部屋に置いておきます。 25 分後の温度は 25 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。定数 k を min⁻¹ で求めなさい。

T₀ = 85 °CT_a = 20 °CT(25) = 25 °C

k = min⁻¹

8.微分方程式むずかしい

タンクに、塩 5 kg を溶かした水が 500 L 入っています。 1 L あたり 0.05 kg の塩を含む塩水が 5 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。 15 分後にタンク内にある塩の量 m を求めなさい。

V = 500 Lm₀ = 5 kgc = 0.05 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3溶液

1.数値計算法

答え: |E| = 0.001297

数値積分：[a, b] を、幅 h = (b − a)/n、節点 x₀ … xₙ の n 個の短冊に分けます。台形公式：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]。シンプソンの公式（n は偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]。台形公式の誤差は h² のように小さくなり（M = max|f″| として評価式 (b − a)h²·M/12）、シンプソンの公式は h⁴ のように小さくなるので、同じ節点ならシンプソンの公式のほうが通常はずっと正確です。

厳密な値

I = 0.693147

シンプソンの公式

S = (0.5/3)·(1 + 4·0.666667 + 0.5) = 0.694444

誤差

|E| = |0.694444 − 0.693147| = 0.001297

答え

|E| = 0.001297

相対誤差：0.1872%。

2.数値計算法

答え: y₅ = 1.522

y′ = f(t, y) の数値解法：オイラー法は、各ステップの開始点での傾きに沿って進みます：y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。ホイン法（改良オイラー法）は、開始点での傾きと、オイラー法による予測点での傾きを平均します：k₁ = f(tₙ, yₙ)、k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)、y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。古典的ルンゲ–クッタ法（RK4）は 4 つの傾きを組み合わせます：y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。大域誤差は、オイラー法では h に、ホイン法では h² に、RK4 では h⁴ に比例します。

オイラー法のステップ

y₁ = 0.5 + 0.5·(1) = 1

y₂ = 1 + 0.5·(0.606531) = 1.303265

y₃ = 1.303265 + 0.5·(0.271643) = 1.439087

y₄ = 1.439087 + 0.5·(0.115483) = 1.496829

y₅ = 1.496829 + 0.5·(0.0501039) = 1.521881

グラフ

y₅ = 1.522

答え

y₅ = 1.522

3.数列と級数

答え: x = −4.718

係数

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

半径

R = 2.718

区間

−4.718 < x < 0.7183

x = −4.718

答え

x = −4.718

比判定法は 2 つの端点については何も教えてくれません。別に調べる必要があります。

4.数列と級数

答え: P₃(−0.4) = 1.624

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

マクローリン多項式

P₃(x) = 1 − x + x² − x³

代入する

P₃(−0.4) = 1 + 0.4 + 0.16 + 0.064 = 1.624

答え

P₃(−0.4) = 1.624

厳密な値は f(−0.4) = 1.666667 です。項を増やすか、0 に近い点を取ると、誤差 0.0426667 は小さくなります。

5.行列と行列式

答え: det A = −45

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = −7, M₁₂ = 8, M₁₃ = −26

余因子展開

det A = (−5)·(−7) − (−3)·8 + 4·(−26) = −45

答え

det A = −45

6.行列と行列式

答え: x = 1.24

係数行列の行列式

det A = (−6)·5 − 4·5 = −50

x の列を置き換える

det Aₓ = (−6)·5 − 4·8 = −62

x = −62/(−50) = 1.24

答え

x = 1.24

y = 0.36

7.微分方程式

答え: k = 0.1026 min⁻¹

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

温度差の比

e^−25k = 5/65

k について解く

k = ln(65/5)/25 = 0.1026 min⁻¹

答え

k = 0.1026 min⁻¹

8.微分方程式

答え: m = 7.786 kg

方程式を立てる

dm/dt = 5·0.05 − (5/500)·m = 0.25 − 0.01·m

解く

積分因子は e^rt/V で、解は平衡量 c·V に近づきます。

m(t) = 25 + (−20)·e^−t/100

t を代入する

m(15) = 25 + (−20)·0.8607 = 7.786 kg

答え

m = 7.786 kg

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