物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 18 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 18 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 6 kg のブロックが、水平と 45° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 6 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

高さ 10 m のがけの上から、ボールを 13 m/s、水平から 40° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 13 m/sθ = 40°h = 10 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

車が半径 140 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 140 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 0.8 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 40° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.4 である。斜面に沿って 12 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 40°μ = 0.4d = 12 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

30° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 5 kg のブロックに押し当てて 10 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、10 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 26 m/s で壁に当たり、9 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 26 m/sv_out = 9 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 0.8 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 0.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

450 m/s で動く質量 12 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 4 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 400 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 12 gv = 450 m/sM = 4 kgk = 400 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 20 cm の薄い収束レンズの 6 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 6 cmf = 20 cm

m =

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 60 cm の凸面鏡の 25 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 25 cmR = 60 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 34.72 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·4) = 34.72 m

答え

s = 34.72 m

2.運動学

答え: t = 4.37 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−15 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 15 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.37 s

答え

t = 4.37 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.937 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答え

a = 6.937 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 33.4 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 14.71)/10.5 = 3.737 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·3.737 + 14.71 = 33.4 N

答え

T = 33.4 N

5.放物運動

答え: x = 52.79 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 65° = 10.99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 65° = 23.56 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·23.56/9.81 = 4.804 s

水平距離

x = v_x·t = 10.99·4.804 = 52.79 m

答え

x = 52.79 m

6.放物運動

答え: α = 58.59 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 13·cos 40° = 9.959 m/s

v_y0 = 13·sin 40° = 8.356 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(8.356² + 2·9.81·10) = 16.31 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 16.31/9.959 → α = 58.59°

答え

α = 58.59°

7.円運動

答え: v_max = 20.3 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·140) = 20.3 m/s

答え

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 2.801 m/s

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答え

v_min = 2.801 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: v = 8.899 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·12·(0.6428 − 0.4·0.766)) = 8.899 m/s

答え

v = 8.899 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.4543 m

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·3000·0.1² = 15 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(49.05·(0.5 + 0.2·0.866)) = 0.4543 m

答え

d = 0.4543 m

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 10.91 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·10 = 0.9091 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·10 = 10.91 m/s

答え

v′₂ = 10.91 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 12.25 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(9 + 26) = 12.25 N·s

答え

J = 12.25 N·s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.159 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.8/2π)² = 0.159 m

答え

L = 0.159 m

14.ばねと振り子

答え: A = 13.48 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.012·450/4.012 = 1.346 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(400/4.012) = 9.985 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.346/9.985 = 0.1348 m = 13.48 cm

答え

A = 13.48 cm

15.波・音・光学

答え: m = 1.429

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/6

d_i = −8.571 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −(−8.571)/6 = 1.429

答え

m = 1.429

16.波・音・光学

答え: d_i = −13.64 cm

焦点距離

f = −R/2 = −30 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/25

d_i = −13.64 cm

光線図

鏡の後ろにできる虚像

答え

d_i = −13.64 cm

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