物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

36 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.5 s で、その後、自動車は一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 36 km/ht_r = 1.5 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2.5 s の間、一定の上向きの加速度 32 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち上げから地面に落ちるまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

a = 32 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 18 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 18 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 38 m/s、水平から 70° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 20 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 38 m/sθ = 70°h_roof = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 50 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.8、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 50 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

長さ 0.6 m の軽い糸につけた質量 1.4 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 10 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 1.4 kgr = 0.6 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg のブロックが水平と 45° をなす斜面を 20 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 0.5 kgθ = 45°μ = 0.3d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg のブロックが 20° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 15 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.2 である。ブロックが斜面を 7 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 2 kgF = 15 Nθ = 20°μ = 0.2d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 2 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 1200 kg の自動車が、駐車中の質量 1800 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 16.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.75 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1800 kgd = 16.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 210 N/m のばねにつけた質量 1.8 kg のおもりを正の向きに 15 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.3 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。

m = 1.8 kgk = 210 N/mA = 15 cmt = 0.3 s

x = cm

14.ばねと振り子むずかしい

k = 320 N/m のばねにつけた質量 0.5 kg の物体を、つり合いの位置から 4 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 0.5 kgk = 320 N/mA = 4 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 25 cm の薄い収束レンズの 6 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 6 cmf = 25 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 20 cm の凹面鏡の 25 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 25 cmR = 20 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: d = 24.09 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 10·1.5 = 15 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·5.5) = 9.091 m

合計

d = 15 + 9.091 = 24.09 m

答え

d = 24.09 m

2.運動学

答え: t = 19.98 s

動力飛行段階

v₁ = 32·2.5 = 80 m/s

h₁ = ½·32·2.5² = 100 m

地面までの自由飛行

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² を正の解について解きます。

t₂ = (80 + √(80² + 2·9.81·100))/9.81 = 17.48 s

t = 2.5 + 17.48 = 19.98 s

答え

t = 19.98 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.206 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

答え

a = 3.206 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.717 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 10.79)/8 = 1.717 m/s²

答え

a = 1.717 m/s²

5.放物運動

答え: H = 4.293 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 35° = 13.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 35° = 9.177 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 9.177²/(2·9.81) = 4.293 m

答え

H = 4.293 m

6.放物運動

答え: x = 86.67 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 13 m/s, v_y = 35.71 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

20 = 35.71·t − 4.905·t²

t = (35.71 + √(35.71² − 2·9.81·20))/9.81 = 6.669 s

水平距離

x = v_x·t = 13·6.669 = 86.67 m

答え

x = 86.67 m

7.円運動

答え: v_max = 19.81 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·50) = 19.81 m/s

答え

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.円運動

答え: T_top = 164.7 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 10² − 4·9.81·0.6 = 76.46 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.4·76.46/0.6 − 1.4·9.81 = 164.7 N

答え

T_top = 164.7 N

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 20.81 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.7071 = 3.468 N

F = μN = 0.3·3.468 = 1.041 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.041·20 = 20.81 J

答え

W_f = 20.81 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 5.676 m/s

斜面に沿った力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 6.71 N

μ·mg·cos θ = 3.687 N

仕事とエネルギー

½mv² = (15 − 10.4)·7 = 32.22 J

v = √(2·32.22/2) = 5.676 m/s

答え

v = 5.676 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 4.8 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2 − 3)/(2 + 3)·6 = −1.2 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3)·6 = 4.8 m/s

答え

v′₂ = 4.8 m/s

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 38.95 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·16.5) = 15.58 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·15.58/1200 = 38.95 m/s

答え

v₁ = 38.95 m/s

(140.2 km/h)

13.ばねと振り子

答え: x = −14.93 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(210/1.8) = 10.8 rad/s

ω·t = 10.8·0.3 = 3.24 rad

変位

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(3.24) = −14.93 cm

答え

x = −14.93 cm

14.ばねと振り子

答え: E = 0.256 J

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(320/0.5) = 25.3 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·320·0.04² = 0.256 J

答え

E = 0.256 J

15.波・音・光学

答え: d_i = −7.895 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/6

d_i = −7.895 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −7.895 cm

16.波・音・光学

答え: d_i = 16.67 cm

焦点距離

f = R/2 = 10 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/25

d_i = 16.67 cm

光線図

鏡の前にできる実像

答え

d_i = 16.67 cm

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