物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.1 s で、その後、自動車は一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 120 km/ht_r = 1.1 sa = −7 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 15 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 14 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球は地面からどれだけの高さ y で出会うか。

H = 15 mv_0B = 14 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 7 kg と 2.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 7 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、20° の斜面を速さ 8.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 8.5 m/sθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 27 m/s、水平から 70° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 15 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 70°h_roof = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 20 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.6、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 20 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 0.8 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 40 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。停止距離 d を求めよ。

v = 40 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 5 mL = 2 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

質量 20 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 2.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 8 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 2.5 kgh = 8 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 1.3 m の軽い糸でつり下げた質量 3.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 10° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 3.5 kgL = 1.3 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 0.3 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 0.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 300 N/m のばねにつけた質量 1.9 kg の物体を、つり合いの位置から 16 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 1.9 kgk = 300 N/mA = 16 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

高さ 5 cm の物体が、焦点距離 12 cm の薄い収束レンズの 40 cm 前にあります。像の高さ h_i を求めてください（倒立像では負）。

h_o = 5 cmd_o = 40 cmf = 12 cm

h_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、幅 0.1 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 1 番目の暗線の角度 θ₁ を求めてください。

λ = 550 nma = 0.1 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 116 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 33.33·1.1 = 36.67 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·7) = 79.37 m

合計

d = 36.67 + 79.37 = 116 m

答え

d = 116 m

2.運動学

答え: y = 9.369 m

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

15 − ½g·t² = 14·t − ½g·t² → t = 15/14 = 1.071 s

出会う高さ

y = 14·1.071 − ½·9.81·1.071² = 9.369 m

答え

y = 9.369 m

3.ニュートンの法則

答え: T = 36.14 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (7 − 2.5)·9.81/(7 + 2.5) = 4.647 m/s²

軽いおもりから求める張力

T − m₂·g = m₂·a → T = 2.5·(9.81 + 4.647) = 36.14 N

答え

T = 36.14 N

4.ニュートンの法則

答え: d = 6.949 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 20° + 0.2·cos 20°) = 5.199 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·5.199) = 6.949 m

答え

d = 6.949 m

5.放物運動

答え: H = 2.991 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 50° = 6.428 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 50° = 7.66 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 7.66²/(2·9.81) = 2.991 m

答え

H = 2.991 m

6.放物運動

答え: x = 41.48 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 9.235 m/s, v_y = 25.37 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

15 = 25.37·t − 4.905·t²

t = (25.37 + √(25.37² − 2·9.81·15))/9.81 = 4.492 s

水平距離

x = v_x·t = 9.235·4.492 = 41.48 m

答え

x = 41.48 m

7.円運動

答え: v_max = 10.85 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·20) = 10.85 m/s

答え

v_max = 10.85 m/s (39.06 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 2.801 m/s

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答え

v_min = 2.801 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: d = 12.58 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.5·9.81) = 12.58 m

答え

d = 12.58 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 21.24 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(5 − 0.2·2) = 22.56 J

最大縮み

½kx² = 22.56 → x = √(2·22.56/1000) = 0.2124 m = 21.24 cm

答え

x = 21.24 cm

11.運動量と衝突

答え: v = 157.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.08) = 1.253 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 2.5)·1.253/0.02 = 157.9 m/s

答え

v = 157.9 m/s

12.運動量と衝突

答え: v = 109.6 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 10°) = 0.01975 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.01975) = 0.6225 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 3.52·0.6225/0.02 = 109.6 m/s

答え

v = 109.6 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 1.099 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(0.3/9.81) = 1.099 s

答え

T = 1.099 s

14.ばねと振り子

答え: E = 3.84 J

角周波数

ω = √(300/1.9) = 12.57 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·300·0.16² = 3.84 J

答え

E = 3.84 J

15.波・音・光学

答え: h_i = −2.143 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/40

d_i = 17.14 cm

倍率と高さ

m = −17.14/40 = −0.4286

h_i = −0.4286·5 = −2.143 cm

答え

h_i = −2.143 cm

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 0.3151 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

暗線の条件

sin θ = mλ/a = 0.0055

θ = 0.3151°

答え

θ₁ = 0.3151°

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