物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 4.3 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 4.3 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 25 kg のそりを、水平から 15° 上向きのロープで、140 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 25 kgF = 140 Nθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 60 N が前の 4 kg のブロックを引き、2 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。ブロックの加速度 a を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgF = 60 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s、水平から 50° 上向きに、87 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 38 m/sθ = 50°x = 87 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 30 m/s、水平から 45° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 11 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 45°h_roof = 11 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 95 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.6、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 95 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.8 kg のボールを長さ 0.6 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 4 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.8 kgr = 0.6 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 10 kg の小球が長さ 2 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 20° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 10 kgL = 2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg の台車が、半径 1 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 2.6 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 2 kgh = 2.6 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

8 m/s で動いている質量 700 kg の自動車が、静止している質量 1000 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 700 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.運動量と衝突むずかしい

質量 5 g の弾丸を、長さ 1.9 m の軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 10° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 1.5 kgL = 1.9 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.1 m の単振り子の小さな振れの周期が 5.18 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 1.1 mT = 5.18 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

k = 230 N/m のばねにつけた質量 3.6 kg の物体を、つり合いの位置から 7 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 3.6 kgk = 230 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、45° を超えるすべての入射角で、空気（n = 1.00）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 45°n₂ = 1.00

n₁ =

16.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 25 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 20 cm、レンズ 2 は f₂ = −20 cm です。物体はレンズ 1 の 25 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 20 cmf₂ = −20 cms = 25 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 22.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·5) = 22.5 m

答え

s = 22.5 m

2.運動学

答え: d = 81 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.3 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1475 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1475))/(2·4.905) = 4.064 s

深さ

d = ½·9.81·4.064² = 81 m

答え

d = 81 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.901 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 140·sin 15° = 209 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 135.2 − 62.7

a = 72.53/25 = 2.901 m/s²

答え

a = 2.901 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 7.057 m/s²

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (60 − 17.66)/6 = 7.057 m/s²

答え

a = 7.057 m/s²

5.放物運動

答え: y = 41.46 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 38·cos 50° = 24.43 m/s

t = x/v_x = 87/24.43 = 3.562 s

その時刻での高さ

y = 29.11·3.562 − ½·9.81·3.562² = 41.46 m

答え

y = 41.46 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: x = 78.96 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 21.21 m/s, v_y = 21.21 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

11 = 21.21·t − 4.905·t²

t = (21.21 + √(21.21² − 2·9.81·11))/9.81 = 3.722 s

水平距離

x = v_x·t = 21.21·3.722 = 78.96 m

答え

x = 78.96 m

7.円運動

答え: v_max = 23.65 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·95) = 23.65 m/s

答え

v_max = 23.65 m/s (85.13 km/h)

8.円運動

答え: T = 65.66 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·4²/0.6 = 17.66 + 48 = 65.66 N

答え

T = 65.66 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 109.9 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 20°) = 2.366 m²/s²

最下点での力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·2.366/2 = 109.9 N

答え

T = 109.9 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 109.9 N。

10.仕事とエネルギー

答え: N = 3.924 N

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(2.6 − 2) = 11.77 m²/s²

最高点での力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·11.77/1 − 19.62 = 3.924 N

答え

N = 3.924 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: ΔK = 13176 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·8/1700 = 3.294 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·700·8² = 22400 J

K_after = ½·1700·3.294² = 9224 J

失われたエネルギー

ΔK = 22400 − 9224 = 13176 J

答え

ΔK = 13176 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: v = 226.5 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 10°) = 0.02887 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.02887) = 0.7526 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.505·0.7526/0.005 = 226.5 m/s

答え

v = 226.5 m/s

13.ばねと振り子

答え: g = 1.618 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.1/5.18² = 1.618 m/s²

答え

g = 1.618 m/s²

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.5595 m/s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(230/3.6) = 7.993 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.07·7.993 = 0.5595 m/s

答え

v_max = 0.5595 m/s

15.波・音・光学

答え: n₁ = 1.414

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.7071 = 1.414

答え

n₁ = 1.414

16.波・音・光学

答え: d_i2 = −27.27 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/20 − 1/25 → d_i1 = 100 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 25 − 100 = −75 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−75) → d_i2 = −27.27 cm

答え

d_i2 = −27.27 cm

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