物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 4.5 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 4.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 2 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 2 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

30° の斜面上にある質量 4.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 7.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 7.5 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 40 m のがけの上から、ボールを 15 m/s、水平から 25° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 135 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 135 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 180 m のカーブに 20° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 180 mθ = 20°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 100 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.7 である。停止距離 d を求めよ。

v = 100 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 4 kgh = 1.5 mL = 3.5 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 4.5 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 28 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 28 m/sv_out = 10 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

長さ 2.7 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 2.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 220 N/m のばねにつけた質量 3.3 kg の物体を、つり合いの位置から 6 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 3.3 kgk = 220 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、40° を超えるすべての入射角で、アクリル（n = 1.49）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 40°n₂ = 1.49

n₁ =

16.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、20 m/s で近づいてくる車に向けて 40 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 22.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·5) = 22.5 m

答え

s = 22.5 m

2.運動学

答え: d = 88.29 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1544))/(2·4.905) = 4.243 s

深さ

d = ½·9.81·4.243² = 88.29 m

答え

d = 88.29 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.433 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答え

a = 2.433 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 43.78 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 22.07 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.823 N

系の加速度

a = (73.58 − 22.07 − 3.823)/12 = 3.973 m/s²

つり下げられたおもりから求める張力

m₂·g − T = m₂·a → T = 7.5·(9.81 − 3.973) = 43.78 N

答え

T = 43.78 N

5.放物運動

答え: H = 2.991 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 50° = 6.428 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 50° = 7.66 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 7.66²/(2·9.81) = 2.991 m

答え

H = 2.991 m

6.放物運動

答え: H = 42.05 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 15·sin 25° = 6.339 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 6.339²/(2·9.81) = 2.048 m

地面からの高さ

H = 40 + 2.048 = 42.05 m

答え

H = 42.05 m

7.円運動

答え: v_max = 23.02 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·135) = 23.02 m/s

答え

v_max = 23.02 m/s (82.86 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 39.74 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(180·9.81·0.7179/0.8029) = 39.74 m/s

答え

v_max = 39.74 m/s

(143 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: d = 56.18 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.7·9.81) = 56.18 m

答え

d = 56.18 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 12.53 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(1.5 − 0.2·3.5) = 31.39 J

最大縮み

½kx² = 31.39 → x = √(2·31.39/4000) = 0.1253 m = 12.53 cm

答え

x = 12.53 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 5.684 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4.5 − 5)/(4.5 + 5)·6 = −0.3158 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 5)·6 = 5.684 m/s

答え

v′₂ = 5.684 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 418 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(10 + 28) = 20.9 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 20.9/0.05 = 418 N

答え

F_avg = 418 N

13.ばねと振り子

答え: T = 3.296 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(2.7/9.81) = 3.296 s

答え

T = 3.296 s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 4 m/s²

角周波数

ω = √(220/3.3) = 8.165 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.06·8.165² = 4 m/s²

答え

a_max = 4 m/s²

15.波・音・光学

答え: n₁ = 2.318

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.49/0.6428 = 2.318

答え

n₁ = 2.318

16.波・音・光学

答え: f_b = 4954 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 40000·(343 + 20)/343 = 42332 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 20) = 44954 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 4954 Hz

答え

f_b = 4954 Hz

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