物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

72 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 72 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 12 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 11 m/s ですべり、41 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 11 m/sd = 41 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 75 N が前の 12 kg のブロックを引き、7 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。ブロックの加速度 a を求めよ。

m₁ = 7 kgm₂ = 12 kgF = 75 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 20 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

高さ 35 m のがけの上から、ボールを 16 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 16 m/sθ = 30°h = 35 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

長さ 1.9 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 60° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。 1 回転にかかる時間 T を求めよ。

L = 1.9 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = s

8.円運動むずかしい

質量 2 kg のボールを長さ 0.8 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 3.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 2 kgr = 0.8 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。斜面に沿って 10 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg の台車が、半径 1 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 2.6 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 0.5 kgh = 2.6 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 11 m/s で壁に当たり、7 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 11 m/sv_out = 7 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 0.3 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 0.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

500 m/s で動く質量 12 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 1 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 200 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 12 gv = 500 m/sM = 1 kgk = 200 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 0.6 m です。音速は 343 m/s です。その第 7 倍音の振動数 f₇ を求めてください。

v = 343 m/sn = 7L = 0.6 m

f₇ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.46、クラッドは n₂ = 1.36 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.46n₂ = 1.36

NA =

3溶液

1.運動学

答え: s = 66.67 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·3) = 66.67 m

答え

s = 66.67 m

2.運動学

答え: h_max = 47.34 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m

地面からの高さ

h_max = 40 + 7.339 = 47.34 m

答え

h_max = 47.34 m

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.1504

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·41) = 1.476 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.476/9.81 = 0.1504

答え

μ = 0.1504

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.966 m/s²

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 18.64)/19 = 2.966 m/s²

答え

a = 2.966 m/s²

5.放物運動

答え: t = 1.723 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 25° = 18.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 25° = 8.452 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·8.452/9.81 = 1.723 s

答え

t = 1.723 s

6.放物運動

答え: α = 63.17 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 16·cos 30° = 13.86 m/s

v_y0 = 16·sin 30° = 8 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(8² + 2·9.81·35) = 27.4 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 27.4/13.86 → α = 63.17°

答え

α = 63.17°

7.円運動

答え: T = 1.955 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 1.9·sin 60° = 1.645 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.645·9.81·tan 60°) = 5.288 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·1.645/5.288 = 1.955 s

答え

T = 1.955 s

8.円運動

答え: T = 50.25 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·3.5²/0.8 = 19.62 + 30.63 = 50.25 N

答え

T = 50.25 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 9.855 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·10·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 9.855 m/s

答え

v = 9.855 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: N = 0.981 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(2.6 − 2) = 11.77 m²/s²

最高点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·11.77/1 − 4.905 = 0.981 N

答え

N = 0.981 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 7 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 2.5)/(3.5 + 2.5)·6 = 1 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2.5)·6 = 7 m/s

答え

v′₂ = 7 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 2.7 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(7 + 11) = 2.7 N·s

答え

J = 2.7 N·s

13.ばねと振り子

答え: T = 1.099 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(0.3/9.81) = 1.099 s

答え

T = 1.099 s

14.ばねと振り子

答え: A = 42.17 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.012·500/1.012 = 5.929 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(200/1.012) = 14.06 rad/s

振幅

A = V/ω = 5.929/14.06 = 0.4217 m = 42.17 cm

答え

A = 42.17 cm

15.波・音・光学

答え: f₇ = 1000 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·0.6/7 = 0.3429 m

振動数

f = v/λ = 343/0.3429 = 1000 Hz

答え

f₇ = 1000 Hz

16.波・音・光学

答え: NA = 0.531

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.36/1.46 = 0.9315 → θc = 68.67°

開口数

NA = √(1.46² − 1.36²) = 0.531

答え

NA = 0.531

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