物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2 m/s² で 8 s 加速し、次に 13 s 等速で走り、最後に 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 8 st₂ = 13 sa₃ = −4 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 15 m のがけの上から、ボールを 28 m/s、水平から 70° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 28 m/sθ = 70°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 55 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 55 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 2 kg のボールを長さ 1.1 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 2 kgr = 1.1 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 800 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.1 kg のボールをその上に置き、ばねを 6 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.1 kgk = 800 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

15° の斜面の下端にあるばね定数 1000 N/m のばねを、質量 5 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.25 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 5 kgk = 1000 N/mx = 15 cmθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 1 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 8 g の弾丸を、長さ 0.7 m の軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 10° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 5 kgL = 0.7 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 330 N/m のばねにつけた質量 3 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 5 cm で振動する。つり合いの位置から 2 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 3 kgk = 330 N/mA = 5 cmx = 2 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 220 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 2 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの最大の速さ v_max を求めよ。

m = 2 kgk = 220 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

光がフリントガラス（n = 1.62）の中を、クラウンガラス（n = 1.50）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.62n₂ = 1.50

θ_c = °

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 50 cm の凸面鏡の 12 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 12 cmR = 50 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 18.75 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·6) = 18.75 m

答え

s = 18.75 m

2.運動学

答え: t = 25 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·8 = 16 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 16/4 = 4 s

合計時間

t = 8 + 13 + 4 = 25 s

答え

t = 25 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.356 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

答え

a = 2.356 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 0.981 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 5.886)/4 = 0.981 m/s²

答え

a = 0.981 m/s²

5.放物運動

答え: H = 10.52 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14.37 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 14.37²/(2·9.81) = 10.52 m

答え

H = 10.52 m

6.放物運動

答え: H = 50.28 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 28·sin 70° = 26.31 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 26.31²/(2·9.81) = 35.28 m

地面からの高さ

H = 15 + 35.28 = 50.28 m

答え

H = 50.28 m

7.円運動

答え: v_max = 14.69 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·55) = 14.69 m/s

答え

v_max = 14.69 m/s (52.89 km/h)

8.円運動

答え: T = 136 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·8²/1.1 = 19.62 + 116.4 = 136 N

答え

T = 136 N

9.仕事とエネルギー

答え: h = 1.468 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·800·0.06² = 1.44 J

高さ

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 1.44/0.981 = 1.468 m

答え

h = 1.468 m

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.4584 m

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·1000·0.15² = 11.25 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 11.25/(49.05·(0.2588 + 0.25·0.9659)) = 0.4584 m

答え

d = 0.4584 m

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = −4 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1 − 5)/(1 + 5)·6 = −4 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 5)·6 = 2 m/s

答え

v′₁ = −4 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v = 285.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 10°) = 0.01063 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.01063) = 0.4568 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 5.008·0.4568/0.008 = 285.9 m/s

答え

v = 285.9 m/s

13.ばねと振り子

答え: v = 0.4806 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(330/3) = 10.49 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 10.49·√(0.05² − 0.02²) = 0.4806 m/s

答え

v = 0.4806 m/s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.9353 m/s

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 2·9.81/220 = 0.08918 m = A

最大の速さ

速さはつり合いの位置で最大になります。

ω = √(220/2) = 10.49 rad/s

v_max = A·ω = 0.08918·10.49 = 0.9353 m/s

答え

v_max = 0.9353 m/s

15.波・音・光学

答え: θ_c = 67.81 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.50/1.62 = 0.9259

臨界角

θc = arcsin(0.9259) = 67.81°

答え

θ_c = 67.81°

16.波・音・光学

答え: d_i = −8.108 cm

焦点距離

f = −R/2 = −25 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/12

d_i = −8.108 cm

光線図

鏡の後ろにできる虚像

答え

d_i = −8.108 cm

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