物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 32 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、2 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 32 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2.5 s の間、一定の上向きの加速度 22 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 22 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 3.5 m/s ですべり、3.1 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 3.5 m/sd = 3.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 7 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 7 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 15° 上向きに打ち出すと、80 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 15°R = 80 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 25°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 100 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.7、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 100 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.7 kg のボールを長さ 1.2 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.7 kgr = 1.2 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 1000 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.05 kg のボールをその上に置き、ばねを 5 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.05 kgk = 1000 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 1.5 mL = 4 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

5 m/s で動いている質量 1700 kg の自動車が、静止している質量 1600 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1700 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 13 m/s で壁に当たり、4 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 13 m/sv_out = 4 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

周期が 2.3 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 2.3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 1.2 s、振幅 6 cm で単振動をしている。最大変位 6 cm から変位 4.2 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 1.2 sA = 6 cmx = 4.2 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

光がアクリル（n = 1.49）の中を、水（n = 1.33）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.49n₂ = 1.33

θ_c = °

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.48、クラッドは n₂ = 1.45 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.48n₂ = 1.45n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 32 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/2 = 32 s

答え

t = 32 s

その瞬間、パトカーは 2v = 64 m/s で走っています。

2.運動学

答え: h_max = 222.9 m

動力飛行段階

v₁ = 22·2.5 = 55 m/s

h₁ = ½·22·2.5² = 68.75 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 55²/(2·9.81) = 154.2 m

h_max = 68.75 + 154.2 = 222.9 m

答え

h_max = 222.9 m

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.2014

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·3.1) = 1.976 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.976/9.81 = 0.2014

答え

μ = 0.2014

4.ニュートンの法則

答え: T = 29.97 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 13.73)/11 = 2.319 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·2.319 + 13.73 = 29.97 N

答え

T = 29.97 N

5.放物運動

答え: v₀ = 39.62 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·80/sin 30°) = 39.62 m/s

答え

v₀ = 39.62 m/s

6.放物運動

答え: t = 2.453 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12.69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5.917 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 5.917·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.917 + √(35.01 + 294.3))/9.81 = 2.453 s

答え

t = 2.453 s

7.円運動

答え: v_max = 26.2 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·100) = 26.2 m/s

答え

v_max = 26.2 m/s (94.34 km/h)

8.円運動

答え: T = 107.3 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.7·9.81 + 1.7·8²/1.2 = 16.68 + 90.67 = 107.3 N

答え

T = 107.3 N

9.仕事とエネルギー

答え: h = 2.548 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·1000·0.05² = 1.25 J

高さ

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 1.25/0.4905 = 2.548 m

答え

h = 2.548 m

10.仕事とエネルギー

答え: x = 14.69 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(1.5 − 0.1·4) = 53.96 J

最大縮み

½kx² = 53.96 → x = √(2·53.96/5000) = 0.1469 m = 14.69 cm

答え

x = 14.69 cm

11.運動量と衝突

答え: ΔK = 10303 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·5/3300 = 2.576 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1700·5² = 21250 J

K_after = ½·3300·2.576² = 10947 J

失われたエネルギー

ΔK = 21250 − 10947 = 10303 J

答え

ΔK = 10303 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 63.75 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(4 + 13) = 2.55 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 2.55/0.04 = 63.75 N

答え

F_avg = 63.75 N

13.ばねと振り子

答え: L = 1.315 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.3/2π)² = 1.315 m

答え

L = 1.315 m

14.ばねと振り子

答え: t = 0.1519 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = 2π/T = 2π/1.2 = 5.236 rad/s

時間について解く

0.7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.7) = 0.7954 rad

t = 0.7954/5.236 = 0.1519 s

答え

t = 0.1519 s

15.波・音・光学

答え: θ_c = 63.2 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.49 = 0.8926

臨界角

θc = arcsin(0.8926) = 63.2°

答え

θ_c = 63.2°

16.波・音・光学

答え: θ_a = 17.25 °

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.45/1.48 = 0.9797 → θc = 78.44°

開口数

NA = √(1.48² − 1.45²) = 0.2965

受光角

θ_a = arcsin(0.2965) = 17.25°

答え

θ_a = 17.25°

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