物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

36 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 36 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 1.7 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 1.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 8 m/s ですべり、33 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 8 m/sd = 33 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

40° の斜面上にある質量 3 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 6.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 6.5 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 70° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 50 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 140 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 140 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.6 kg のボールを長さ 0.5 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.6 kgr = 0.5 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。斜面に沿って 6 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.15d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.4）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 6 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 3 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0.4d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.45 kg のボールが 30 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.45 kgv_in = 30 m/sv_out = 11 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

450 m/s で動く質量 12 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 3.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 2000 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 12 gv = 450 m/sM = 3.5 kgk = 2000 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

25 m/s で動く 500 Hz の音源と、20 m/s で動く観測者が、互いに遠ざかっています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 589 nm の光が、0.4 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2.5 m 先にあります。中央の明線から 4 番目の明線までの距離 y₄ を求めてください。

λ = 589 nmd = 0.4 mmL = 2.5 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 10 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·5) = 10 m

答え

s = 10 m

2.運動学

答え: d = 13.53 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 583.1 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·583.1))/(2·4.905) = 1.661 s

深さ

d = ½·9.81·1.661² = 13.53 m

答え

d = 13.53 m

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.09885

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 8²/(2·33) = 0.9697 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9697/9.81 = 0.09885

答え

μ = 0.09885

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.246 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 63.77 N

m₁·g·sin θ = 18.92 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.509 N

系の加速度

a = (63.77 − 18.92 − 4.509)/9.5 = 4.246 m/s²

答え

a = 4.246 m/s²

5.放物運動

答え: t = 6.131 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 70° = 10.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 70° = 30.07 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·30.07/9.81 = 6.131 s

答え

t = 6.131 s

6.放物運動

答え: t = 5.774 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 55° = 13.77 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 55° = 19.66 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 50 + 19.66·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.66 + √(386.5 + 981))/9.81 = 5.774 s

答え

t = 5.774 s

7.円運動

答え: v_max = 20.3 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·140) = 20.3 m/s

答え

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.円運動

答え: T = 49.09 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·6²/0.5 = 5.886 + 43.2 = 49.09 N

答え

T = 49.09 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 5.809 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·6·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 5.809 m/s

答え

v = 5.809 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: v = 5.089 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 58.86·3 = 176.6 J

μ·m₁g·d = 0.4·39.24·3 = 47.09 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 129.5 → v = √(2·129.5/10) = 5.089 m/s

答え

v = 5.089 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 4.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·5 = −0.3333 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·5 = 4.667 m/s

答え

v′₂ = 4.667 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 1845 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.45·(11 + 30) = 18.45 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 18.45/0.01 = 1845 N

答え

F_avg = 1845 N

13.ばねと振り子

答え: L = 0.2485 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答え

L = 0.2485 m

14.ばねと振り子

答え: A = 6.443 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.012·450/3.512 = 1.538 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/3.512) = 23.86 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.538/23.86 = 0.06443 m = 6.443 cm

答え

A = 6.443 cm

15.波・音・光学

答え: f′ = 438.9 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 20)/(343 + 25)

f′ = 438.9 Hz

答え

f′ = 438.9 Hz

16.波・音・光学

答え: y₄ = 14.72 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·2.5/(0.4 × 10⁻³) = 3.681 mm

4 番目の縞

y₄ = 4·3.681 = 14.72 mm

答え

y₄ = 14.72 mm

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