物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 200 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 2400 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 200 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 10 kg のブロックが、水平と 20° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 70° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 10 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 55°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 130 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 130 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 70 m のカーブに 20° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 70 mθ = 20°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg のブロックが水平と 35° をなす斜面を 18 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 0.5 kgθ = 35°μ = 0.15d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 12 m/s で走る質量 1800 kg の自動車が、北向きに 13 m/s で走る質量 1900 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1800 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 13 m/s (N)

v′ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 0.8 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 0.8 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 270 N/m のばねにつけた質量 1.2 kg の物体を、つり合いの位置から 20 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 1.2 kgk = 270 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 15 cm の薄い収束レンズの 30 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 30 cmf = 15 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、5 m/s で遠ざかる車に向けて 25 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: a = 0.643 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 200/3.6 = 55.56 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 55.56²/(2·2400) = 0.643 m/s²

答え

a = 0.643 m/s²

2.運動学

答え: t = 2.721 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−20 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 20 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·20))/9.81 = 2.721 s

答え

t = 2.721 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.355 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0) = 3.355 m/s²

答え

a = 3.355 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 5.473 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 6.867)/9.5 = 5.473 m/s²

答え

a = 5.473 m/s²

5.放物運動

答え: H = 8.821 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 70° = 4.788 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 70° = 13.16 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 13.16²/(2·9.81) = 8.821 m

答え

H = 8.821 m

6.放物運動

答え: t = 4.923 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 55° = 15.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 55° = 22.12 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 10 + 22.12·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.12 + √(489.2 + 196.2))/9.81 = 4.923 s

答え

t = 4.923 s

7.円運動

答え: v_max = 19.56 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·130) = 19.56 m/s

答え

v_max = 19.56 m/s (70.42 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 22.62 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(70·9.81·0.6239/0.8371) = 22.62 m/s

答え

v_max = 22.62 m/s

(81.45 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 10.85 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.8192 = 4.018 N

F = μN = 0.15·4.018 = 0.6027 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 0.6027·18 = 10.85 J

答え

W_f = 10.85 J

10.仕事とエネルギー

答え: x = 33.59 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(2.5 − 0.1·2) = 225.6 J

最大縮み

½kx² = 225.6 → x = √(2·225.6/4000) = 0.3359 m = 33.59 cm

答え

x = 33.59 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 8.727 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·8 = 0.7273 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·8 = 8.727 m/s

答え

v′₂ = 8.727 m/s

12.運動量と衝突

答え: v′ = 8.868 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1800·12 = 21600 kg·m/s

p_y = 1900·13 = 24700 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 32812/3700 = 8.868 m/s

答え

v′ = 8.868 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 1.794 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(0.8/9.81) = 1.794 s

答え

T = 1.794 s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 45 m/s²

角周波数

ω = √(270/1.2) = 15 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.2·15² = 45 m/s²

答え

a_max = 45 m/s²

15.波・音・光学

答え: d_i = 30 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/30

d_i = 30 cm

光線図

実像、レンズの反対側

答え

d_i = 30 cm

16.波・音・光学

答え: f_b = 718.4 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 25000·(343 − 5)/343 = 24636 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 5) = 24282 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 718.4 Hz

答え

f_b = 718.4 Hz

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