物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 3.25 m/s² で一様に加速する。1500 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 3.25 m/s²s = 1500 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 10 m の屋上の端から、ボールを 20 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 20 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 19 kg のブロックが、水平と 45° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 19 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 4.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 32 m/s で打ち出し、85 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 32 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 13 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

遊園地のローターでは、乗客が半径 3 m の鉛直な円筒の壁に背をつけて立つ。十分速く回転すると床が下がり、摩擦が乗客を支える。静止摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。最小の角速度 ω を rad/s で求めよ。

r = 3 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.円運動むずかしい

質量 0.8 kg のボールを長さ 0.9 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 4.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.8 kgr = 0.9 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 1000 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.1 kg のボールをその上に置き、ばねを 4 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.1 kgk = 1000 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg の台車が、半径 5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 16 m から静かに放される。ループの最高点での台車の速さ v を求めよ。

m = 2 kgh = 16 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、11 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 10 m/s で壁に当たり、18 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 10 m/sv_out = 18 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

周期が 2.9 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 2.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

300 m/s で動く質量 8 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 0.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 700 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 8 gv = 300 m/sM = 0.5 kgk = 700 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 5 cm の薄い発散レンズの 6 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 6 cmf = −5 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、0.2 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 550 nmd = 0.2 mmL = 1 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: v = 98.74 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·3.25·1500) = 98.74 m/s

答え

v = 98.74 m/s

(355.5 km/h)

2.運動学

答え: t = 4.528 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−10 = 20·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 20·t − 10 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (20 + √(20² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.528 s

答え

t = 4.528 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.937 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答え

a = 6.937 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 13.24 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 8.829)/6 = 0.981 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4.5·0.981 + 8.829 = 13.24 N

答え

T = 13.24 N

5.放物運動

答え: θ = 27.26 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/32² = 0.8143

位相角

2θ = 54.52° → θ = 27.26°

答え

θ = 27.26°

もう 1 つの解は 90° − θ = 62.74° です。

6.放物運動

答え: t = 3.163 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 45° = 9.192 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 45° = 9.192 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 9.192·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.192 + √(84.5 + 392.4))/9.81 = 3.163 s

答え

t = 3.163 s

7.円運動

答え: ω = 3.302 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乗客に働く力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·3)) = 3.302 rad/s

答え

ω = 3.302 rad/s

8.円運動

答え: T = 25.85 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.8·9.81 + 0.8·4.5²/0.9 = 7.848 + 18 = 25.85 N

答え

T = 25.85 N

9.仕事とエネルギー

答え: h = 0.8155 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·1000·0.04² = 0.8 J

高さ

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 0.8/0.981 = 0.8155 m

答え

h = 0.8155 m

10.仕事とエネルギー

答え: v = 10.85 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(16 − 10) = 117.7 m²/s²

v = 10.85 m/s

答え

v = 10.85 m/s

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 9.059 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 5)/(3.5 + 5)·11 = −1.941 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 5)·11 = 9.059 m/s

答え

v′₂ = 9.059 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 280 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(18 + 10) = 7 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 7/0.025 = 280 N

答え

F_avg = 280 N

13.ばねと振り子

答え: L = 2.09 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.9/2π)² = 2.09 m

答え

L = 2.09 m

14.ばねと振り子

答え: A = 12.73 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.008·300/0.508 = 4.724 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(700/0.508) = 37.12 rad/s

振幅

A = V/ω = 4.724/37.12 = 0.1273 m = 12.73 cm

答え

A = 12.73 cm

15.波・音・光学

答え: d_i = −2.727 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/6

d_i = −2.727 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −2.727 cm

16.波・音・光学

答え: Δy = 2.75 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1/(0.2 × 10⁻³) = 2.75 mm

答え

Δy = 2.75 mm

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