物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 17 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、3.5 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 17 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 7 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 7 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 7 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 7 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

20° の斜面上にある質量 5.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 9.5 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 30° 上向きに打ち出すと、30 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 30°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 10 m のがけの上から、ボールを 12 m/s、水平から 50° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールが地面に当たるときの速さ v を求めよ。

v₀ = 12 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.円運動ふつう

車が半径 150 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.8、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 150 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 60 m のカーブに 18° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車がバンクを下にすべり落ちずにカーブを通過できる最低の速さ v_min を求めよ。

r = 60 mθ = 18°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg の小球が長さ 1.5 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 50° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgL = 1.5 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 1 mL = 3 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 5 kg のグライダーが、静止している質量 2 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 17 m/s で壁に当たり、14 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 17 m/sv_out = 14 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1.6 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 400 N/m のばねにつけた質量 0.9 kg の物体を、つり合いの位置から 17 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 0.9 kgk = 400 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 10 cm の薄い発散レンズの 15 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 15 cmf = −10 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 20 cm の凹面鏡の 25 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 25 cmR = 20 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: d = 165.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/3.5 = 9.714 s

距離

d = v·t = 17·9.714 = 165.1 m

答え

d = 165.1 m

その瞬間、パトカーは 2v = 34 m/s で走っています。

2.運動学

答え: h_max = 22.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9.81) = 2.497 m

地面からの高さ

h_max = 20 + 2.497 = 22.5 m

答え

h_max = 22.5 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.051 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.25·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2349) = 1.051 m/s²

答え

a = 1.051 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.307 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 18.45 N

μ·m₁·g·cos θ = 10.14 N

系の加速度

a = (93.2 − 18.45 − 10.14)/15 = 4.307 m/s²

答え

a = 4.307 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 18.43 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 60°) = 18.43 m/s

答え

v₀ = 18.43 m/s

6.放物運動

答え: v = 18.44 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 12·cos 50° = 7.713 m/s

v_y0 = 12·sin 50° = 9.193 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(9.193² + 2·9.81·10) = 16.75 m/s

衝突時の速さ

v = √(7.713² + 16.75²) = 18.44 m/s

答え

v = 18.44 m/s

エネルギーで確認：v² = v₀² + 2gh。

7.円運動

答え: v_max = 34.31 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·150) = 34.31 m/s

答え

v_max = 34.31 m/s (123.5 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 8.309 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を上る向きです。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(60·9.81·0.1188/1.013) = 8.309 m/s

答え

v_min = 8.309 m/s

(29.91 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: T = 8.409 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 50°) = 10.51 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·10.51/1.5 = 8.409 N

答え

T = 8.409 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 8.409 N。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 31.32 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(1 − 0.2·3) = 39.24 J

最大縮み

½kx² = 39.24 → x = √(2·39.24/800) = 0.3132 m = 31.32 cm

答え

x = 31.32 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 12.86 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (5 − 2)/(5 + 2)·9 = 3.857 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2)·9 = 12.86 m/s

答え

v′₂ = 12.86 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 9.3 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(14 + 17) = 9.3 N·s

答え

J = 9.3 N·s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.6361 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.6/2π)² = 0.6361 m

答え

L = 0.6361 m

14.ばねと振り子

答え: v_max = 3.584 m/s

角周波数

ω = √(400/0.9) = 21.08 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.17·21.08 = 3.584 m/s

答え

v_max = 3.584 m/s

15.波・音・光学

答え: d_i = −6 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/15

d_i = −6 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −6 cm

16.波・音・光学

答え: d_i = 16.67 cm

焦点距離

f = R/2 = 10 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/25

d_i = 16.67 cm

光線図

鏡の前にできる実像

答え

d_i = 16.67 cm

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