物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 100 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 30 kg の箱を、水平と 40° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.4 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 30 kgθ = 40°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

30° の斜面上にある質量 2 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 3 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 14 m/s、水平から 30° 上向きに、5 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 14 m/sθ = 30°x = 5 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 15 m のがけの上から、ボールを 16 m/s、水平から 40° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールが地面に当たるときの速さ v を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 40°h = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.円運動ふつう

自動車が、半径 20 m の円弧になっている道路の盛り上がりの頂上を通過する。g = 9.81 m/s² とする。どの速さ v_max を超えると、頂上で車輪が路面から離れるか。

r = 20 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

長さ 1.5 m の軽い糸につけた質量 1.9 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 11.5 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 1.9 kgr = 1.5 mv_bottom = 11.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 30 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。停止距離 d を求めよ。

v = 30 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg の台車が、半径 5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 17.5 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 1 kgh = 17.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

水平に 20 m/s で動いている質量 10 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 6 kg の破片は前向きに 78 m/s で進み続ける。質量 4 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 10 kgu = 20 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 78 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 900 kg の自動車が、駐車中の質量 1100 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 11.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.75 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 900 kgm₂ = 1100 kgd = 11.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.4 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

400 m/s で動く質量 12 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 2.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 100 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 12 gv = 400 m/sM = 2.5 kgk = 100 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

600 Hz の音源が、静止している観測者に向かって 30 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 589 nm の光が、0.1 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1.5 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 589 nmd = 0.1 mmL = 1.5 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 6.944 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/4 = 6.944 s

答え

t = 6.944 s

2.運動学

答え: t = 3.532 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.532 s

答え

t = 3.532 s

3.ニュートンの法則

答え: F = 279.4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 189.2 + 90.18 = 279.4 N

答え

F = 279.4 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.584 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 29.43 N

m₁·g·sin θ = 9.81 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.699 N

系の加速度

a = (29.43 − 9.81 − 1.699)/5 = 3.584 m/s²

答え

a = 3.584 m/s²

5.放物運動

答え: y = 2.053 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 14·cos 30° = 12.12 m/s

t = x/v_x = 5/12.12 = 0.4124 s

その時刻での高さ

y = 7·0.4124 − ½·9.81·0.4124² = 2.053 m

答え

y = 2.053 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: v = 23.46 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 16·cos 40° = 12.26 m/s

v_y0 = 16·sin 40° = 10.28 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(10.28² + 2·9.81·15) = 20 m/s

衝突時の速さ

v = √(12.26² + 20²) = 23.46 m/s

答え

v = 23.46 m/s

エネルギーで確認：v² = v₀² + 2gh。

7.円運動

答え: v_max = 14.01 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

垂直抗力 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·20) = 14.01 m/s

答え

v_max = 14.01 m/s

(50.43 km/h)

8.円運動

答え: T_top = 74.32 N

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 11.5² − 4·9.81·1.5 = 73.39 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.9·73.39/1.5 − 1.9·9.81 = 74.32 N

答え

T_top = 74.32 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 7.079 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 30/3.6 = 8.333 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8.333²/(2·0.5·9.81) = 7.079 m

答え

d = 7.079 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: N = 19.62 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(17.5 − 10) = 147.2 m²/s²

最高点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·147.2/5 − 9.81 = 19.62 N

答え

N = 19.62 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = −67 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 10·20 = 200 kg·m/s

衝突後の運動量

200 = 6·78 + 4·v′₂

v′₂ = (200 − 468)/4 = −67 m/s

答え

v′₂ = −67 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 28.91 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·11.5) = 13.01 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2000·13.01/900 = 28.91 m/s

答え

v₁ = 28.91 m/s

(104.1 km/h)

13.ばねと振り子

答え: T = 2.374 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.4/9.81) = 2.374 s

答え

T = 2.374 s

14.ばねと振り子

答え: A = 30.29 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.012·400/2.512 = 1.911 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(100/2.512) = 6.309 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.911/6.309 = 0.3029 m = 30.29 cm

答え

A = 30.29 cm

15.波・音・光学

答え: f′ = 657.5 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 0)/(343 − 30)

f′ = 657.5 Hz

答え

f′ = 657.5 Hz

16.波・音・光学

答え: Δy = 8.835 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·1.5/(0.1 × 10⁻³) = 8.835 mm

答え

Δy = 8.835 mm

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