物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 240 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 1900 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1900 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 4 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 10 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 45 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 45 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 1.3 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2.5 kg のブロックが水平と 30° をなす斜面を 7 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2.5 kgθ = 30°μ = 0.25d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 4 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

16 m/s で動いている質量 1000 kg の自動車が、静止している質量 1000 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1000 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 20 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 20 m/sv_out = 16 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.9 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 390 N/m のばねにつけた質量 4 kg の物体を、つり合いの位置から 14 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 4 kgk = 390 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 25 cm の薄い収束レンズの 20 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 20 cmf = 25 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 40 cm の凹面鏡の 10 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 10 cmR = 40 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.17 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 240/3.6 = 66.67 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 66.67²/(2·1900) = 1.17 m/s²

答え

a = 1.17 m/s²

2.運動学

答え: t = 2.951 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·25))/9.81 = 2.951 s

答え

t = 2.951 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.781 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答え

a = 2.781 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.44 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 11.77)/9.5 = 4.44 m/s²

答え

a = 4.44 m/s²

5.放物運動

答え: t = 2.24 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 25° = 23.56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 25° = 10.99 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·10.99/9.81 = 2.24 s

答え

t = 2.24 s

6.放物運動

答え: x = 60.15 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 30° = 19.92 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 30° = 11.5 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 10 + 11.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.5 + √(132.2 + 196.2))/9.81 = 3.02 s

水平距離

x = v_x·t = 19.92·3.02 = 60.15 m

答え

x = 60.15 m

7.円運動

答え: v_max = 13.29 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·45) = 13.29 m/s

答え

v_max = 13.29 m/s (47.84 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 3.571 m/s

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

答え

v_min = 3.571 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 37.17 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.866 = 21.24 N

F = μN = 0.25·21.24 = 5.31 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 5.31·7 = 37.17 J

答え

W_f = 37.17 J

10.仕事とエネルギー

答え: v = 6.264 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(3 − 0.2·5) = 78.48 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

答え

v = 6.264 m/s

11.運動量と衝突

答え: ΔK = 64000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·16/2000 = 8 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1000·16² = 128000 J

K_after = ½·2000·8² = 64000 J

失われたエネルギー

ΔK = 128000 − 64000 = 64000 J

答え

ΔK = 64000 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 540 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(16 + 20) = 5.4 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 5.4/0.01 = 540 N

答え

F_avg = 540 N

13.ばねと振り子

答え: T = 2.765 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.9/9.81) = 2.765 s

答え

T = 2.765 s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 1.382 m/s

角周波数

ω = √(390/4) = 9.874 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.14·9.874 = 1.382 m/s

答え

v_max = 1.382 m/s

15.波・音・光学

答え: d_i = −100 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/20

d_i = −100 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −100 cm

16.波・音・光学

答え: m = 2

焦点距離

f = R/2 = 20 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/10

d_i = −20 cm

倍率

m = −(−20)/10 = 2

答え

m = 2

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