物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.5 s で、その後、自動車は一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 120 km/ht_r = 1.5 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 10 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 25 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 10 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 2 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 2 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 12 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 23 m/s、水平から 50° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 2 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 50°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 35 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 35 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.2 kg のボールを長さ 0.5 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.2 kgr = 0.5 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1000 kg の自動車が 3° の坂を一定の 90 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 600 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 600 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックが 20° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 40 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.25 である。ブロックが斜面を 2 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 5 kgF = 40 Nθ = 20°μ = 0.25d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、11 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 1.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 18 m/s で走る質量 800 kg の自動車が、北向きに 18 m/s で走る質量 1200 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m₁ = 800 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 18 m/s (N)

θ = °

13.ばねと振り子ふつう

k = 220 N/m のばねにつけた質量 1.8 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 17 cm で振動する。つり合いの位置から 3 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 1.8 kgk = 220 N/mA = 17 cmx = 3 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 340 N/m のばねにつけた質量 2 kg の物体を、つり合いの位置から 18 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 2 kgk = 340 N/mA = 18 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

光がエタノール（n = 1.36）の中を、水（n = 1.33）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.36n₂ = 1.33

θ_c = °

16.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 60 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 8 cm、レンズ 2 は f₂ = 8 cm です。物体はレンズ 1 の 25 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 8 cmf₂ = 8 cms = 60 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: d = 151 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 33.33·1.5 = 50 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·5.5) = 101 m

合計

d = 50 + 101 = 151 m

答え

d = 151 m

2.運動学

答え: t = 0.4 s

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

10 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 10/25 = 0.4 s

答え

t = 0.4 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.618 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答え

a = 3.618 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 18.39 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/8 = 6.131 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·6.131 + 0 = 18.39 N

答え

T = 18.39 N

5.放物運動

答え: t = 2.217 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 65° = 5.071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 65° = 10.88 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·10.88/9.81 = 2.217 s

答え

t = 2.217 s

6.放物運動

答え: x = 51.37 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 14.78 m/s, v_y = 17.62 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

2 = 17.62·t − 4.905·t²

t = (17.62 + √(17.62² − 2·9.81·2))/9.81 = 3.475 s

水平距離

x = v_x·t = 14.78·3.475 = 51.37 m

答え

x = 51.37 m

7.円運動

答え: v_max = 11.72 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·35) = 11.72 m/s

答え

v_max = 11.72 m/s (42.19 km/h)

8.円運動

答え: T = 113.2 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·6.5²/0.5 = 11.77 + 101.4 = 113.2 N

答え

T = 113.2 N

9.仕事とエネルギー

答え: P = 27.84 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513.4 N

F = 513.4 + 600 = 1113 N

電力

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1113·25 = 27835 W = 27.84 kW

答え

P = 27.84 kW

10.仕事とエネルギー

答え: v = 3.06 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿った力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 16.78 N

μ·mg·cos θ = 11.52 N

仕事とエネルギー

½mv² = (40 − 28.3)·2 = 23.4 J

v = √(2·23.4/5) = 3.06 m/s

答え

v = 3.06 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = 3.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 1.5)/(3 + 1.5)·11 = 3.667 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1.5)·11 = 14.67 m/s

答え

v′₁ = 3.667 m/s

12.運動量と衝突

答え: θ = 56.31 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 800·18 = 14400 kg·m/s

p_y = 1200·18 = 21600 kg·m/s

向き

tan θ = p_y/p_x = 1.5 → θ = 56.31°

答え

θ = 56.31°

13.ばねと振り子

答え: v = 1.85 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(220/1.8) = 11.06 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 11.06·√(0.17² − 0.03²) = 1.85 m/s

答え

v = 1.85 m/s

14.ばねと振り子

答え: E = 5.508 J

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(340/2) = 13.04 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·340·0.18² = 5.508 J

答え

E = 5.508 J

15.波・音・光学

答え: θ_c = 77.94 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.36 = 0.9779

臨界角

θc = arcsin(0.9779) = 77.94°

答え

θ_c = 77.94°

16.波・音・光学

答え: d_i2 = 9.591 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/8 − 1/25 → d_i1 = 11.76 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 60 − 11.76 = 48.24 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/8 − 1/48.24 → d_i2 = 9.591 cm

答え

d_i2 = 9.591 cm

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