物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 20 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 20 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 17 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 17 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 40 kg のそりを、水平から 40° 上向きのロープで、180 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 40 kgF = 180 Nθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

25° の斜面上にある質量 10 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 9 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 22 m/s、水平から 55° 上向きに、9 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 22 m/sθ = 55°x = 9 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 23 m/s、水平から 40° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 7 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 40°h_roof = 7 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 110 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 110 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 0.6 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 0.6 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg のブロックが水平と 45° をなす斜面を 7 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 5 kgθ = 45°μ = 0.25d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 1.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 1.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 4 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 15 m/s で走る質量 1300 kg の自動車が、北向きに 16 m/s で走る質量 1100 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m₁ = 1300 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1.7 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 80 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 3 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの最大の速さ v_max を求めよ。

m = 3 kgk = 80 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.75 m です。音速は 343 m/s です。その第 2 倍音の振動数 f₂ を求めてください。

v = 343 m/sn = 2L = 0.75 m

f₂ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 500 nm の光が、0.1 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2.5 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 500 nmd = 0.1 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 8 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·20/5 = 8 s

答え

t = 8 s

その瞬間、パトカーは 2v = 40 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 5.073 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (17 + √(17² + 2·9.81·40))/9.81 = 5.073 s

答え

t = 5.073 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.718 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 180·sin 40° = 276.7 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 137.9 − 69.17

a = 68.71/40 = 1.718 m/s²

答え

a = 1.718 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.529 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 41.46 N

μ·m₁·g·cos θ = 17.78 N

系の加速度

a = (88.29 − 41.46 − 17.78)/19 = 1.529 m/s²

答え

a = 1.529 m/s²

5.放物運動

答え: y = 10.36 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 22·cos 55° = 12.62 m/s

t = x/v_x = 9/12.62 = 0.7132 s

その時刻での高さ

y = 18.02·0.7132 − ½·9.81·0.7132² = 10.36 m

答え

y = 10.36 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: x = 42.74 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 17.62 m/s, v_y = 14.78 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

7 = 14.78·t − 4.905·t²

t = (14.78 + √(14.78² − 2·9.81·7))/9.81 = 2.426 s

水平距離

x = v_x·t = 17.62·2.426 = 42.74 m

答え

x = 42.74 m

7.円運動

答え: v_max = 17.99 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·110) = 17.99 m/s

答え

v_max = 17.99 m/s (64.77 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 2.426 m/s

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.6) = 2.426 m/s

答え

v_min = 2.426 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 60.7 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.7071 = 34.68 N

F = μN = 0.25·34.68 = 8.671 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 8.671·7 = 60.7 J

答え

W_f = 60.7 J

10.仕事とエネルギー

答え: x = 24.26 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(1.5 − 0.2·1.5) = 58.86 J

最大縮み

½kx² = 58.86 → x = √(2·58.86/2000) = 0.2426 m = 24.26 cm

答え

x = 24.26 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = 2.273 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 1.5)/(4 + 1.5)·5 = 2.273 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1.5)·5 = 7.273 m/s

答え

v′₁ = 2.273 m/s

12.運動量と衝突

答え: θ = 42.07 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1300·15 = 19500 kg·m/s

p_y = 1100·16 = 17600 kg·m/s

向き

tan θ = p_y/p_x = 0.9026 → θ = 42.07°

答え

θ = 42.07°

13.ばねと振り子

答え: L = 0.7181 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.7/2π)² = 0.7181 m

答え

L = 0.7181 m

14.ばねと振り子

答え: v_max = 1.9 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 3·9.81/80 = 0.3679 m = A

最大の速さ

速さはつり合いの位置で最大になります。

ω = √(80/3) = 5.164 rad/s

v_max = A·ω = 0.3679·5.164 = 1.9 m/s

答え

v_max = 1.9 m/s

15.波・音・光学

答え: f₂ = 457.3 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.75/2 = 0.75 m

振動数

f = v/λ = 343/0.75 = 457.3 Hz

答え

f₂ = 457.3 Hz

16.波・音・光学

答え: Δy = 12.5 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·2.5/(0.1 × 10⁻³) = 12.5 mm

答え

Δy = 12.5 mm

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