物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

108 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 108 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 3 m/s² で 9 s 加速し、次に 26 s 等速で走り、最後に 2 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 9 st₂ = 26 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 11 m/s ですべり、21 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 11 m/sd = 21 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 130 N が前の 1 kg のブロックを引き、9 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。ブロックの加速度 a を求めよ。

m₁ = 9 kgm₂ = 1 kgF = 130 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s で打ち出し、50 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 38 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 28 m/sθ = 55°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 60 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 60 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 0.9 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 30° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。斜面に沿って 14 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 30°μ = 0.3d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg の台車が、半径 3 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 12 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 1 kgh = 12 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

質量 10 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 22 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 1 kgh = 22 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 1700 kg の自動車が、駐車中の質量 800 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 21 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.75 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1700 kgm₂ = 800 kgd = 21 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 2 m の単振り子の小さな振れの周期が 1.78 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 2 mT = 1.78 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

500 m/s で動く質量 5 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 4 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 800 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 5 gv = 500 m/sM = 4 kgk = 800 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

機械 1 台で、ある地点の音のレベルが 60 dB になります。同一の機械 3 台が同時に動いているときの、その地点でのレベル β を求めてください（インコヒーレントな音源）。

β₁ = 60 dBn = 3

β = dB

16.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、幅 0.15 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 1 番目の暗線の角度 θ₁ を求めてください。

λ = 550 nma = 0.15 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 150 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·3) = 150 m

答え

s = 150 m

2.運動学

答え: s = 1006 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·9 = 27 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·3·9² = 121.5 m

s₂ = 27·26 = 702 m

s₃ = 27²/(2·2) = 182.3 m

全距離

s = 121.5 + 702 + 182.3 = 1006 m

答え

s = 1006 m

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.2937

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·21) = 2.881 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.881/9.81 = 0.2937

答え

μ = 0.2937

4.ニュートンの法則

答え: a = 10.06 m/s²

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 29.43)/10 = 10.06 m/s²

答え

a = 10.06 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 9.929 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/38² = 0.3397

位相角

2θ = 19.86° → θ = 9.929°

答え

θ = 9.929°

もう 1 つの解は 90° − θ = 80.07° です。

6.放物運動

答え: t = 6.422 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 55° = 16.06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 55° = 22.94 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 22.94·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.94 + √(526.1 + 1079))/9.81 = 6.422 s

答え

t = 6.422 s

7.円運動

答え: v_max = 17.16 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·60) = 17.16 m/s

答え

v_max = 17.16 m/s (61.76 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 2.971 m/s

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答え

v_min = 2.971 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: v = 8.123 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.5 − 0.3·0.866)) = 8.123 m/s

答え

v = 8.123 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: N = 29.43 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(12 − 6) = 117.7 m²/s²

最高点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·117.7/3 − 9.81 = 29.43 N

答え

N = 29.43 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v = 209.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.22) = 2.078 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 1)·2.078/0.01 = 209.8 m/s

答え

v = 209.8 m/s

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 25.85 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·21) = 17.58 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·17.58/1700 = 25.85 m/s

答え

v₁ = 25.85 m/s

(93.06 km/h)

13.ばねと振り子

答え: g = 24.92 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/1.78² = 24.92 m/s²

答え

g = 24.92 m/s²

14.ばねと振り子

答え: A = 4.417 cm

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.005·500/4.005 = 0.6242 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(800/4.005) = 14.13 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.6242/14.13 = 0.04417 m = 4.417 cm

答え

A = 4.417 cm

15.波・音・光学

答え: β = 64.77 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

全体の強さ

I = 3·I₁

レベル

β = 60 + 10·log₁₀(3) = 64.77 dB

答え

β = 64.77 dB

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 0.2101 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

暗線の条件

sin θ = mλ/a = 0.003667

θ = 0.2101°

答え

θ₁ = 0.2101°

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