物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 31 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 31 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 2 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 20 N が前の 2 kg のブロックを引き、11 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 11 kgm₂ = 2 kgF = 20 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 60° 上向きに打ち出すと、50 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 60°R = 50 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 40 m のがけの上から、ボールを 14 m/s、水平から 25° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールが地面に当たるときの速さ v を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.円運動ふつう

車が半径 125 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 125 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.7 kg のボールを長さ 1.5 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.7 kgr = 1.5 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 30° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。斜面に沿って 20 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 30°μ = 0.35d = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 8 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.2）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 3 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 2.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 9 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 1 kgh = 9 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 25 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 25 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 2.5 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 2.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 3.4 s、振幅 7 cm で単振動をしている。最大変位 7 cm から変位 6.3 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 3.4 sA = 7 cmx = 6.3 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 1000 Hz の音源に向かって 10 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、15 m/s で近づいてくる車に向けて 25 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: d = 384.4 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/5 = 12.4 s

距離

d = v·t = 31·12.4 = 384.4 m

答え

d = 384.4 m

その瞬間、パトカーは 2v = 62 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 3.352 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−35 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 35 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.352 s

答え

t = 3.352 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.856 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答え

a = 4.856 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 16.92 N

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (20 − 12.75)/13 = 0.5575 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(0.5575 + 0.981) = 16.92 N

答え

T = 16.92 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: v₀ = 23.8 m/s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·50/sin 120°) = 23.8 m/s

答え

v₀ = 23.8 m/s

6.放物運動

答え: v = 31.32 m/s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

v_x = 14·cos 25° = 12.69 m/s

v_y0 = 14·sin 25° = 5.917 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(5.917² + 2·9.81·40) = 28.63 m/s

衝突時の速さ

v = √(12.69² + 28.63²) = 31.32 m/s

答え

v = 31.32 m/s

エネルギーで確認：v² = v₀² + 2gh。

7.円運動

答え: v_max = 22.15 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·125) = 22.15 m/s

答え

v_max = 22.15 m/s (79.73 km/h)

8.円運動

答え: T = 26.58 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·6.5²/1.5 = 6.867 + 19.72 = 26.58 N

答え

T = 26.58 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 8.79 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·20·(0.5 − 0.35·0.866)) = 8.79 m/s

答え

v = 8.79 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: v = 2.499 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 29.43·2.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.2·78.48·2.5 = 39.24 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 34.33 → v = √(2·34.33/11) = 2.499 m/s

答え

v = 2.499 m/s

11.運動量と衝突

答え: v = 267.1 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.09) = 1.329 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 1)·1.329/0.005 = 267.1 m/s

答え

v = 267.1 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 24.2 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(19 + 25) = 24.2 N·s

答え

J = 24.2 N·s

13.ばねと振り子

答え: T = 3.172 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(2.5/9.81) = 3.172 s

答え

T = 3.172 s

14.ばねと振り子

答え: t = 0.2441 s

角周波数

ω = 2π/T = 2π/3.4 = 1.848 rad/s

時間について解く

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/1.848 = 0.2441 s

答え

t = 0.2441 s

15.波・音・光学

答え: f′ = 1029 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 10)/(343 − 0)

f′ = 1029 Hz

答え

f′ = 1029 Hz

16.波・音・光学

答え: f″ = 27287 Hz

車での振動数

f′ = 25000·(343 + 15)/343 = 26093 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 15) = 27287 Hz

答え

f″ = 27287 Hz

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