物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.9 s で、その後、自動車は一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 100 km/ht_r = 0.9 sa = −6 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 12 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 11 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 11 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、30° の斜面を速さ 5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 5 m/sθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 34 m/s で打ち出し、40 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 34 m/sR = 40 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 15° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 19 m/sθ = 15°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 95 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.6、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 95 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 1.5 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 15° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。斜面に沿って 4 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 15°μ = 0.1d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 8 kg のブロックが 20° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 65 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.15 である。ブロックが斜面を 5 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 8 kgF = 65 Nθ = 20°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

6 m/s で動いている質量 1600 kg の自動車が、静止している質量 2000 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1600 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.4 kg のボールが 30 m/s で壁に当たり、4 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.4 kgv_in = 30 m/sv_out = 4 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 110 N/m のばねにつけた質量 2.1 kg のおもりを正の向きに 8 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 1.05 s での速度 v を符号をつけて求めよ。

m = 2.1 kgk = 110 N/mA = 8 cmt = 1.05 s

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 3.9 s、振幅 8 cm で単振動をしている。つり合いの位置から変位 4 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 3.9 sA = 8 cmx = 4 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

34 m/s で動く 1200 Hz の音源と、10 m/s で動く観測者が、互いに近づいています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

1 ミリメートルあたり 300 本の線をもつ回折格子で、あるスペクトル線の次数 1 の極大が、直進方向から 10.2° の位置に見えます。そのスペクトル線の波長 λ を求めてください。

N = 300 mm⁻¹θ₁ = 10.2°m = 1

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: d = 89.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 27.78·0.9 = 25 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·6) = 64.3 m

合計

d = 25 + 64.3 = 89.3 m

答え

d = 89.3 m

2.運動学

答え: h_max = 22.34 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m

地面からの高さ

h_max = 15 + 7.339 = 22.34 m

答え

h_max = 22.34 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 0.5897 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答え

a = 0.5897 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 2.172 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 30° + 0.1·cos 30°) = 5.755 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·5.755) = 2.172 m

答え

d = 2.172 m

5.放物運動

答え: θ = 9.922 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·40/34² = 0.3394

位相角

2θ = 19.84° → θ = 9.922°

答え

θ = 9.922°

もう 1 つの解は 90° − θ = 80.08° です。

6.放物運動

答え: t = 3.887 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 15° = 18.35 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 15° = 4.918 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 4.918·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.918 + √(24.18 + 1079))/9.81 = 3.887 s

答え

t = 3.887 s

7.円運動

答え: v_max = 23.65 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·95) = 23.65 m/s

答え

v_max = 23.65 m/s (85.13 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 3.836 m/s

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

答え

v_min = 3.836 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: v = 3.568 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·4·(0.2588 − 0.1·0.9659)) = 3.568 m/s

答え

v = 3.568 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: v = 5.82 m/s

斜面に沿った力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 26.84 N

μ·mg·cos θ = 11.06 N

仕事とエネルギー

½mv² = (65 − 37.9)·5 = 135.5 J

v = √(2·135.5/8) = 5.82 m/s

答え

v = 5.82 m/s

11.運動量と衝突

答え: ΔK = 16000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·6/3600 = 2.667 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1600·6² = 28800 J

K_after = ½·3600·2.667² = 12800 J

失われたエネルギー

ΔK = 28800 − 12800 = 16000 J

答え

ΔK = 16000 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: J = 13.6 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.4·(4 + 30) = 13.6 N·s

答え

J = 13.6 N·s

13.ばねと振り子

答え: v = −0.5603 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(110/2.1) = 7.237 rad/s

ω·t = 7.237·1.05 = 7.599 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.08·7.237·sin(7.599) = −0.5603 m/s

答え

v = −0.5603 m/s

14.ばねと振り子

答え: t = 0.325 s

角周波数

ω = 2π/T = 2π/3.9 = 1.611 rad/s

時間について解く

0.5 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.5) = 0.5236 rad

t = 0.5236/1.611 = 0.325 s

答え

t = 0.325 s

15.波・音・光学

答え: f′ = 1371 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1200·(343 + 10)/(343 − 34)

f′ = 1371 Hz

答え

f′ = 1371 Hz

16.波・音・光学

答え: λ = 590.3 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = d·sin θ/m = 3.333 × 10⁻⁶·sin 10.2°/1 = 590.3 nm

答え

λ = 590.3 nm

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