物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 27 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 27 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 3 m/s² で 10 s 加速し、次に 29 s 等速で走り、最後に 2 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 10 st₂ = 29 sa₃ = −2 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 16 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 16 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 20 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 60 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 31 m/sθ = 40°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 40 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.7、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 40 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.3 kg のボールを長さ 1 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 3.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.3 kgr = 1 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg のブロックが水平と 30° をなす斜面を 12 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.4 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 1 kgθ = 30°μ = 0.4d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4 m から静かに放す。下で長さ 2.5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、4 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 10 m/s で走る質量 1100 kg の自動車が、北向きに 19 m/s で走る質量 1800 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m₁ = 1100 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 19 m/s (N)

θ = °

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.5 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 0.7 s、振幅 16 cm で単振動をしている。つり合いの位置から変位 11.2 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 0.7 sA = 16 cmx = 11.2 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 20 cm の薄い収束レンズの 10 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 10 cmf = 20 cm

m =

16.波・音・光学むずかしい

波長 480 nm の光が、0.3 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2.5 m 先にあります。中央の明線から 3 番目の明線までの距離 y₃ を求めてください。

λ = 480 nmd = 0.3 mmL = 2.5 mm = 3

y₃ = mm

3溶液

1.運動学

答え: d = 364.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/4 = 13.5 s

距離

d = v·t = 27·13.5 = 364.5 m

答え

d = 364.5 m

その瞬間、パトカーは 2v = 54 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 54 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·10 = 30 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 30/2 = 15 s

合計時間

t = 10 + 29 + 15 = 54 s

答え

t = 54 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.554 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答え

a = 5.554 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.924 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 8.829)/6.5 = 3.924 m/s²

答え

a = 3.924 m/s²

5.放物運動

答え: H = 11.96 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 50° = 12.86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 50° = 15.32 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 15.32²/(2·9.81) = 11.96 m

答え

H = 11.96 m

6.放物運動

答え: t = 6.076 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 40° = 23.75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 40° = 19.93 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 19.93·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.93 + √(397.1 + 1177))/9.81 = 6.076 s

答え

t = 6.076 s

7.円運動

答え: v_max = 16.57 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·40) = 16.57 m/s

答え

v_max = 16.57 m/s (59.66 km/h)

8.円運動

答え: T = 28.68 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·3.5²/1 = 12.75 + 15.92 = 28.68 N

答え

T = 28.68 N

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 40.78 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.866 = 8.496 N

F = μN = 0.4·8.496 = 3.398 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 3.398·12 = 40.78 J

答え

W_f = 40.78 J

10.仕事とエネルギー

答え: x = 26.2 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(4 − 0.2·2.5) = 171.7 J

最大縮み

½kx² = 171.7 → x = √(2·171.7/5000) = 0.262 m = 26.2 cm

答え

x = 26.2 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = 2 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3 − 1)/(3 + 1)·4 = 2 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1)·4 = 6 m/s

答え

v′₁ = 2 m/s

12.運動量と衝突

答え: θ = 72.17 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1100·10 = 11000 kg·m/s

p_y = 1800·19 = 34200 kg·m/s

向き

tan θ = p_y/p_x = 3.109 → θ = 72.17°

答え

θ = 72.17°

13.ばねと振り子

答え: T = 2.457 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.5/9.81) = 2.457 s

答え

T = 2.457 s

14.ばねと振り子

答え: t = 0.08639 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = 2π/T = 2π/0.7 = 8.976 rad/s

時間について解く

0.7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.7) = 0.7754 rad

t = 0.7754/8.976 = 0.08639 s

答え

t = 0.08639 s

15.波・音・光学

答え: m = 2

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/10

d_i = −20 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −(−20)/10 = 2

答え

m = 2

16.波・音・光学

答え: y₃ = 12 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2.5/(0.3 × 10⁻³) = 4 mm

3 番目の縞

y₃ = 3·4 = 12 mm

答え

y₃ = 12 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics