物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

108 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 108 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 18 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 18 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 17 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 17 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 10 m/s、水平から 40° 上向きに、7 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 10 m/sθ = 40°x = 7 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 20 m のがけの上から、ボールを 30 m/s、水平から 15° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールが地面に当たるときの速さ v を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 15°h = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.円運動ふつう

道路技術者は、自動車が摩擦に頼らずに半径 260 m のカーブを 40 km/h で通過できるようにしたい。g = 9.81 m/s² とする。バンク角 θ を求めよ。

r = 260 mv = 40 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.円運動むずかしい

質量 0.3 kg のボールを長さ 0.5 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 4.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.3 kgr = 0.5 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 15° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。斜面に沿って 6 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 15°μ = 0.1d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 4.5 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

水平に 36 m/s で動いている質量 5 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 3 kg の破片は前向きに 61 m/s で進み続ける。質量 2 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 5 kgu = 36 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 61 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 14 m/s で壁に当たり、11 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 14 m/sv_out = 11 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1.6 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 120 N/m のばねにつけた質量 2.1 kg の物体を、つり合いの位置から 10 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 2.1 kgk = 120 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

両端が開いた管は、第 4 倍音が 1715 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 4f₄ = 1715 Hz

L = m

16.波・音・光学むずかしい

波長 500 nm の光が、幅 0.12 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 1 番目の暗線の角度 θ₁ を求めてください。

λ = 500 nma = 0.12 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 90 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

答え

s = 90 m

2.運動学

答え: h_max = 41.51 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

地面からの高さ

h_max = 25 + 16.51 = 41.51 m

答え

h_max = 41.51 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.433 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答え

a = 2.433 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 17.17 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 0)/7 = 4.905 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·4.905 + 0 = 17.17 N

答え

T = 17.17 N

5.放物運動

答え: y = 1.778 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 10·cos 40° = 7.66 m/s

t = x/v_x = 7/7.66 = 0.9138 s

その時刻での高さ

y = 6.428·0.9138 − ½·9.81·0.9138² = 1.778 m

答え

y = 1.778 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: v = 35.95 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 30·cos 15° = 28.98 m/s

v_y0 = 30·sin 15° = 7.765 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(7.765² + 2·9.81·20) = 21.28 m/s

衝突時の速さ

v = √(28.98² + 21.28²) = 35.95 m/s

答え

v = 35.95 m/s

エネルギーで確認：v² = v₀² + 2gh。

7.円運動

答え: θ = 2.771 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

単位

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

バンク角

tan θ = v²/(r·g) = 11.11²/(260·9.81) = 0.0484

θ = 2.771°

答え

θ = 2.771°

8.円運動

答え: T = 15.09 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·4.5²/0.5 = 2.943 + 12.15 = 15.09 N

答え

T = 15.09 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 4.37 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·6·(0.2588 − 0.1·0.9659)) = 4.37 m/s

答え

v = 4.37 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: x = 9.448 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(5 − 0.1·4.5) = 22.32 J

最大縮み

½kx² = 22.32 → x = √(2·22.32/5000) = 0.09448 m = 9.448 cm

答え

x = 9.448 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = −1.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 5·36 = 180 kg·m/s

衝突後の運動量

180 = 3·61 + 2·v′₂

v′₂ = (180 − 183)/2 = −1.5 m/s

答え

v′₂ = −1.5 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

12.運動量と衝突

答え: J = 13.75 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(11 + 14) = 13.75 N·s

答え

J = 13.75 N·s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.6361 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.6/2π)² = 0.6361 m

答え

L = 0.6361 m

14.ばねと振り子

答え: a_max = 5.714 m/s²

角周波数

ω = √(120/2.1) = 7.559 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.1·7.559² = 5.714 m/s²

答え

a_max = 5.714 m/s²

15.波・音・光学

答え: L = 0.4 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/1715 = 0.2 m

長さ

L = nλ/2 = 4·0.2/2 = 0.4 m

答え

L = 0.4 m

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 0.2387 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

暗線の条件

sin θ = mλ/a = 0.004167

θ = 0.2387°

答え

θ₁ = 0.2387°

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